Файл: Цай И.П. Методы разделения переменных и квадратичных ошибок и их приложения к краевым задачам математической физики.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.07.2024

Просмотров: 156

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 1 1 . П Р И М Е Р

3.

 

Пусть дан параллелепипед с

основанием a n t

и высо­

той с . На границах заданы смешения и их производные.'

< u O . « i « ( ^ t . * - t u . ) > , j B o . д . . , * .

a i . 2 )

В моим случае решение (7.2) можно представить так:

вв «ЗО <

(И.З)

U s = I S l a : V ; U p ! ( S ^ t ,

где x™s

( с - ^

- ^ ) "

С = Л ,

.Счч v <•»•>

..Oil

*«-

„И

Решение (II.3) автоматически удовлетворяется граничным услови­ ям ( I I . 2 ) .

Разлагая ( I I . I ) в ряд Фурье по синусу я косинусу и сравнивая

с (II.3) при -x.ro

и -х = <х , получим систему 6 алгебраи­

ческих уравнении с

6 неизвестными. Решая и подставляя найден­

ные значения а.

в (II . 3), получим искомое решение задачи.

З А М Е Ч А Н И Е .

Из вышеуказанных решенных задач в §§ 9, 10 и I I следует, что легко решаются следующие задачи:

1)первая; вторая и смешанная задачи для бесконечного слоя,

2)первая и вторая задачи для полупространства,

3)область, разделенная параллельными плоскостями,

4)задачи для параллелепипеда и другие.

§ 12. РАЗДЕЛЕНИЕ ОНЯИЕСКИХ КООРДИНАТ.

Система уравнений равновесия в сферических координатах имее'г вид:

Решением системы уравнений (12.I) будет

Аналогичным способом полагая Ііг =о , получим решение системе

уравнений (12.I) еще в таком виде:

л 'и ч = - ( a t t \ « , г " " " 1 ) ( а ^ Г - а^оГ)Са,& . «ч -

где

Объединяя (12.2) и (12.3), решение системы уравнений (12.I) можно написать в таком виде:

иг-і± т Г і « " ^ - ч * С и * * ) А00

. r ^ A p t -

, " ^

m рі-і» ,4".-»

\

<

v f L r

m

»t"'-a,'">

, ( « , ^ w l t ,

_

(»>

n - i

 

.

,

-и-г

A s

= ь

г

,

A t

 

г

_

Сні

n-1

 

t«1

 

-и-4

 

-

г

,

\

= г

,

§ 1 3 . Т Е Н З О Р Н А П Р Я Ж Е Н И Й .

Пользуясь решениями (12.4) я известными формулами для вычисления тензоров деформации и напряжений, найдем тензори на­ пряженхй і сферических координатах

* г . ( Ъ ^ Л (°І С "~Ч -, 1 Ь ; - - ^ '

h-о m = o

§ 14. П Р И U В Р

I .

 

Пусть имеется сферическая оболочка с внутренним и внеш-

шш радиусами а

и І

. Ha границах заданы смещения: -

 

( U V V ^ = U i

,

i = t,e,v ,-х=а,|.

( 1 4 Л )

Разложим заданные функции (14.I)

в ряд вида:

 

U t = 2 - Ь г в

( Л

с ^ ™ х / ) ,

 

Ч Г Г Ч ^ С ' ^ ' Ь

(14.2)

• •

J

і Г > =

( a " + 0 ( " - m ^ / 2 i r n ( » i * > 0 ( « * " 0 \

Внчиоляя (12.4)

при Z=OL И

t = E

и полученный результат

сравнивая с (14.2),

получим систему 12 алгебраических уравне­

ний для определения

а'"'"1 ,...,

сі'"'""1. Подставляя найденные значения

в (12.4), получим искомое решение задачи.

§ 1 5 - П Р И М Е Р . 2.

Пусть дана сферическая оболочка с внутренним а внешним

раджусами а

и

I

. На границах заданы напряжения:

 

toiX.^rW}

,

^г,е,<

,

(I5.I)

Разложим заданные функции (15.I) в ряд такого вида

 

W

J?,

" .

сад

сад

ч-гЛ""

 

ч»г

г Е

Е

К

 

 

 

Нормальное напряжение в сферических координатах имеет вид:

 

P . ^ V i

 

 

 

( 1 5 . з )

Дня нашей задачи:

 

 

 

 

 

 

при х = 1 : *Іг

= іг

о^, =0 ) „і

-о •

(15.4)

 

 

 

 

 

 

 

при г-<х : <=it= - i , o i e = о, осч - о .

 

Проекции

(15.3) на оси сферических координат дают

 

 

 

 

 

 

 

(15.5)

В силу (15.4) формулы (15.5)

примут такой вид:

 

 

( * * W ( P t i U

. C M ^ - t a U •

( І 5 - 6 )

Вычисляя значения

(ІЗ.І) при г = а

и t - 8

, подставляя по­

лученный результат

в (15.6) и сравнивая с формулами (15.2) и

(15.I), получим систему алгебраических уравнений для определе-

ния а[

,... ,а.

. Подставляя найденные значения at

d-

в ( I 3 . I ) ,

получим искомое решение

задачи.

 

 

З А М Е Ч А Н И Е .

Из решенных в §§ 14 и 15 задач следует, что легко решаются сле­ дующие задачи:

1)первая, вторая н смешанная задачи для оболочки,

2)первая и вторая внутренняя и внешняя задачи для шара,

3)упругая область, разделенная сферическими :границами разде­ ла и другие.

Г Л А. В А 3.

РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В УРАВНЕНИЯХ ДИНАМКИ

ВДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ.

§I . ОНЦЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ

ВУРАВНЕНИЯХ ДЛАМИКИ УПРУГОГО ТЕЛА В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ.

Вработе рассматриваются все системы криволинейных ортого­ нальных координат эвклидова пространства двух' измерений, в ко­ торых уравнения динамики допускают разделение переменных.

Уравнения динамики в векторной форме имеют вид:

( I . I )

Если пололки

(1.2)

то уравнения (1-І) примет такой вид:

оС ^ a c i

JLir Q. - "Uft Tot Q = ^ - 2 2 0.

(1.3)

Положим

 

 

 

 

 

 

(1.4)

Тогда уравнение

(1.3)

примет вид:

 

 

 

 

(1.5)

Решением уравнения (1.4) будет

ft-

 

Т»с,е

-сге

(1.6) j

Уравнения (1.5) преобразуем к криволинейный координатам на плоскости о цельв, найти все системы квординат, в которых урав­ нения (1,5) допускают разделение переменных.

Пусть линейный элемент в нашем случае имеет вид:

d s ^ Z H ^ o , 1 .

(1.7)

Тогда уравнение (1.5), соответствующие этому линейному элемен­ ту, имеют вид:

Hi *i

Легко мохво показать, что система уравнений (1.8) допускает раз­ деление переменных в декартовых, полярных и спиральных системах координат.

§ 2. РАЗДЕЛЕНИЕ ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТ.

Система уравнений динамики в полярных координатах

имеет вид:

 

 

[ і ! ( o i l w L U i i l _І.Ґ»

(ГьИ*\ V u f , ?t-»lUc

 

І Г І І / Л ^ ^ - П - i r i l f . u A - i - ^ i i i i b .

( 2 , I )

 

 

Решением этой системі уравнений

(2.1) будет

 

Смотрите также файлы