Файл: Тарко Л.М. Переходные процессы в гидравлических механизмах.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.07.2024

Просмотров: 143

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В преобразованном виде получаем следующие граничные условия задачи, учитывающие начальные условия:

 

 

 

qtU

=

 

Qu+-^-Uu—^-\

 

 

 

 

 

 

 

 

wju

 

 

Др

 

 

 

 

 

U1 (

х, f) = UU

^— Qc — ц {qu + Qu);

 

 

 

 

 

Ч 1 + ^ Н - ;

 

 

 

(27)

 

 

Qi ( - и , 0 = <7* + Qu -

tfA ( - х , л);

(28)

 

 

 

CL =

Qi{0,r)-ymU1(0,r);

 

 

 

 

(29)

 

 

 

Q 2 (0,r)=

Q N — Yo2i/3(0,r);

 

 

(30)

 

 

L \ (0, о

=

v'*/ +

Q.<OI - f

in

(</,'

-

Qn),

(31)

где

Ф, = ~

- i -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Us

(0, r) = U — Q„Oa

-!- n2 (</,' +

Q.,),

 

(32)

где

Ф, =

 

- j -

i i 3 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л

=

^ + lor -!- ы 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4,

+

Q2 (!.'•) =

YctV2(l,/-).

 

 

(33)

 

В приведенных выражениях заглавными буквами обозначе­

ны

изображения

величин, оригиналы

которых

обозначены те­

ми же малыми буквами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Системе

дифференциальных уравнений

(25)

удовлетворяет

решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q1{Z,r)

= A1chK1Z

+

B1sh%.lt\

 

(34)

 

 

Ui il,r)

=

 

р-

( Л sh h I +

В, ch Я, £),

(35)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

Yi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р '

 

 

 

 

 

 

Система дифференциальных уравнений (26) имеет

следую­

щие интегралы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q2 (|, г) = /12

ch h2

ё

52

sh I,

|;

 

(36)

 

 

^2 (I, О =

 

^ -

(Л2 sh Л8 £ +

Б 2

ch Я2

£),

(37)

22

™ e

 

 

Л а

= г ] / I +

•

 

 

 

 

Величины

В], Л2 и

В 2

представляют

собой

постоянные

интегрирования

и подлежат определению

 

из

граничных

усло­

вий. Как

видно

из

равенств,

определяющих

преобразованные

функции

давления

и скорости

жидкости

в

трубопроводах

1 и

2, для решения

задачи должны быть использованы

граничные

условия, включающие непосредственно выражения давления и скорости жидкости в начале и конце каждого трубопровода. Поэтому следует исключить из системы граничных условий величины Qa, Qi,, Uu, Qa, Qn-

Решая совместно равенства (27) и (28), получаем зависи­ мость, в которой отсутствуют величины Qa, Qu, Uu и которая выражает взаимосвязь непосредственно между давлением и скоростью жидкости в начале напорного трубопровода в пре­ образованном виде:

где

L U, ( -

х, г) = и* -

 

Г [{Q, ( - х, г) -

gJ ,

 

(38)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

-г У а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и -

( Р * — Рн + Н ) wJu

 

 

 

 

 

 

 

 

Др/гД

 

 

 

 

 

 

Исключим из граничных условий преобразованные функции

давления

в левой

и

правой полостях гидроцилиндра. Для

это­

го решим совместно уравнения

(29)-—(31):

 

 

 

 

 

 

и, (о, 0 ( 1 + У т a\)

=

v'u

+ ф, q, (о, г)

-

 

 

 

-

% [Qa (0, г) +

у 0 2 U2(0,r) — q'l

 

 

 

(39

Затем

подставим

выражения

QA

и Q„

из

равенств

(29)

и

(30) в граничное условие (32):

 

 

 

 

 

 

 

(1 +

Уо2 Ф2 ) U2

(0, r) = U — Фа Qo(0,/') +

r,2 [q[ +

Qx (0, г)

-

 

 

 

 

-VnUAO.r)].

 

 

 

 

 

(40)

Далее исключим величины С}л и Qn из дифференциального уравнения движения поршня силового гидроцилиндра в преоб­ разованном виде

Л U = Q' [Qx (0, г) -

YOI i / i (0, D] - Q2 (0, г)

-

— уМ(0.

г) —Кре~х*г-

(41)

Теперь следует в полученные пять граничных условий под­ ставить выражения преобразованных функций давления п ско­ рости жидкости с учетом координат концов напорного и слив-

23

ного трубопроводов. В результате

получим пять

 

уравнений

с пятью неизвестными: Аи Ви

А2, В2, U.

 

 

 

 

(38), най­

Проведя указанное преобразование с равенством

дем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А1Аи

= и* + В1А°,

 

 

 

(42)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"* = «* + Г?*;

 

 

 

 

 

 

 

 

Л ц = Ь

sh Ях х + Г ch %у к;

 

 

 

 

 

 

А° = L -^-chXlK

 

+ r s h ^ x .

 

 

 

Подставим Q2 и U2

в граничное условие (33):

 

 

 

где

 

 

 

i

+ А2ТС+

В2

Г° = 0,

 

 

 

(43)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Гс = ch Я3 + ус —— sh Х2;

 

 

 

 

 

 

 

 

Тс

= sh X* ->•• v c —— ch А,».

 

 

 

Подстановка преобразованных

функций

давления

и скорос­

ти жидкости в граничное условие

(39) дает

 

 

 

 

- - t - B 1

( \ + у01 Фх ) = v'U + Фх Аг

- г н (А2-

-L-

Y u 2

В2 - q't

Соответствующую

подстановку

произведем в

граничное ус­

ловие (40):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

~j-

Вп (1 + Yo2 Фг) = U — Ф2А2

+ ц2

+ At +

 

 

yoi В,\

и в граничное условие (41):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MJ = Q' (Ч + Yoi - у 1

B i ) — А2 + YO2 - у - S 2 -

КРе

Проведя решение полученной системы пяти уравиешп . най­

дем неизвестные U, А{

и А2 в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

U ~ ^

(^т^з^б ~f~ 5]S4So

- j -

52 5з55 — S2S^Srj —

 

—

 

 

 

 

 

-SxSsSe);

 

 

 

 

 

 

 

(44)

Аг

= W7 - 1

(v'S8 SG

+ S7 S4 Л + S2S» — S2SS

A — v' S4 S9

-

S7SB;

A2

= UT 1

(v'S3 S9

+ SiSs Л + S7SS

-

S,S3A

— v'S8 S6 -

S ^ ) ,

где

117 = v ' 5 3 5 0

+ S A A + S2 S5

— 5 2 5 3 Л — v'54 S5 — S A ;

 

 

 

51 =

ф 1 +

И 1

0 т 1 Л ;

 

 

 

 

24

4 1 +

J t ^ s - 4 1 + J ^ )

Si = — ф 2 -

•УоаФа)

S 6 =

- Q ' f

1 + -

 

Sr.-

5 7

= -

^

f (1 +Yoi1>i) -

— Л х ( ^

Yo2

"7

 

 

 

 

 

 

V (1

+ Y02 Фг) — 112

<7. — Yoi MS

Vox

Y02 r<7

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

Произвольные постоянные Bx

и

5 2

найдем

из уравнений

(42) и (43), выразив их через полученные А\ и

А2:

В1

Л ц

— и*

 

 

=

 

 

 

 

 

= — <?" +

Г с Л 2

 

(45)

Б 2

 

 

Зная постоянные А\, В\, А2 и Вг, можно определить пре­ образованные функции давления и скорости жидкости для лю­ бого сечения гидравлической магистрали. Учитывая структуру полученных выражений произвольных постоянных, можно представить выражения преобразованных функций давления и скорости жидкости в магистрали в виде дробей

 

 

« У

(£,

г)

 

 

i^i

(О

 

f/i(£,r)

=

(Е,

г)

 

 

 

 

И М ' )

(46),

 

 

w y 2 ( E ,

 

 

г)

 

 

« М О

 

ад

о

= -

 

 

Тогда на основании второй теоремы разложения операци­ онного исчисления переходные функции давления и скорости

25

жидкости выразятся равенствами

, l ( l , T ) =

J ^

L + V J ^ U

' , ' ,

(47)

] v i

(0)

JnA г1П Wx

(rin)

 

 

 

n= 1

 

 

•где г и , r\2,-,

Гщ —

корни уравнения

U l

(g, т) =- - Z - i l M L

+ V

q2

(g,X ) =

J ! W i ^ L +

V

 

 

» 7 2(0)

^

 

T)

Wa(0)

^

 

 

Wl(r)=0.

 

 

W>» il'

•

(48

Z f f i J I ^ - L

(49)

 

r M w / ; ( r , „ )

№(12 (*.{;2п)_ е г,„т

(50)

r . , n ^ 2 ( r . 2 ( ! )

 

где r 2 i , /"22,.-1 /"2« — корни уравнения № 2 (л)=0, причем пред­ полагается, как и в вышеприведенном уравнении, что нулевые корпи отсутствуют.

Приняв обозначение

Wu {г) = S-S^Sa -\- SiS.iSg -\- S*SsS5 — S o S a S g —

представим оригинал преобразованной функции скорости порш­ ня в виде

"

(т) =

Wu (0)

 

V

Wu

(rn)

(51)

1^(0)

 

 

 

 

rn W" ('„)

где r\, r2,..., /'„ — корни уравнения

W(r)

= 0, причем предпо­

лагается, что нулевых корней пет.

 

 

 

В соответствии с полученным выражением размерная ско­

рость поршня

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г „t

 

А р

Wu

(0)

+ •ъЛ

wu(r„)

~в

 

W.-.Q,

W

(0)

raW

 

(г„) е

Определим

закон

смещения

поршня

силового гидроцилинд­

ра при переходном процессе, вызванном открытием органа уп­

равления. Для

этого проинтегрируем полученное

выражение

безразмерной

скорости

 

 

 

w„ (Q)

Wu (/•„)

(52)

 

IV" (0)

( е г " т - 1 ) .

 

 

 

.-26

 

 

 

Смотрите также файлы