Файл: Мельникова И.И. Динамическая метеорология учеб. пособие для океанологов.pdf

Уравнение состояния

Атмосферу можно рассматривать как термодинамическую систему, внутреннее состояние которой однозначно определяется только'двумя параметрами. Следовательно, в общем виде урав­ нение состояния можно записать как

Бойля-Мариотта и Гей-Люссака, которые достаточно хорошо вы­ полняются в реальной атмосфере. Согласно первому из них, для

РРо

Втаком случае на основании (2.1.11)

Согласно второму закону, при постоянном объеме (или для не­ изменной массы при постоянной плотности) давление является линейной функцией температуры

10

Уравнение притока тепла

Уравнение притока тепла является следствием закона со­ хранения энергии. Любую систему можно характеризовать тре­

мосферы наиболее важным видом потенциальной энергии явля­ ется гравитационная потенциальная энергия, связанная с полем силы тяжести; в н у т р е н н е й Ек, представляющей собой кине­ тическую и потенциальную энергию молекул.

Закон сохранения энергии утверждает, что если система не подверждена внешним воздействиям (замкнутая система), то сумма всех видов энергии в ней остается постоянной, хотя один вид энергии может превращаться в другой. В более общем слу­ чае система может подвергаться..внешним воздействиям (незам­ кнутая система): к системе извне может поступать тепло или над системой может совершаться работа. При этом, согласно

Таким образом, для этого частного случая, в котором имеют место лишь преобразования механических видов энергии, закон сохранения энергии является следствием уравнения движения.

Однако это справедливо только для чисто механических про­ цессов. Для того чтобы это показать, рассмотрим несколько бо­ лее сложный пример.

Предположим, что на рассмотренную выше массу воздуха кроме силы тяжести действует сила трения, пропорциональная скорости. Тогда из уравнения движения

12

dw , m ~d T --=-m g—kw,

где k>0, следует, что

d I mzv'2 -j- mgz ) — —kw2, dt{ 2

T, e. механическая энергия системы убывает. Оставаясь в рам­ ках уравнений динамики, мы должны были бы прийти к выводу о том, что в природе происходят процессы, в которых энергия не сохраняется. Однако, имея в виду сформулированный выше за­ кон срхранения энергии, естественно предположить, что в рас­ сматриваемом процессе механическая энергия превращается во внутреннюю так, что

T. e.

—9— -r-mgz+E,,—const.

Таким образом, и в этом случае полная энергия системы сохраняется.

Заметим, что для получения последнего уравнения одних уравнений движения было недостаточно, и мы использовали за­ кон сохранения энергии как некий новый принцип. В обоих при­ мерах мы рассматривали замкнутую систему. ,

Работа внешних сил складывается из трех частей:

а) работы сил, имеющих потенциал, переходящей .в кинети­ ческую и потенциальную энергию

13

dEK . dEB.

8Ф, = dt + dt '

б) работы сил трения, переходящей в тепло

6Ф2 = е,

где е — диссипация;

в) работы остальных сил (сжатия, расширения, электроста­ тических и т. д.). Если рассматривать только силы сжатия (рас­ ширения), то

Подставив 6Ф в выражение для закона сохранения энергии, по­ лучим

Соотношение (2.1.1-7) называется уравнением первого начала термодинамики, которое утверждает, что изменение внутренней энергии фиксированной массы за единицу времени складывается из притока тепла извне, потери механической энергии из-за тре­ ния и работы сжатия (расширения).

Диссипация энергии играет заметную роль в общем балансе кинетической энергии атмосферы. Однако изменения внутрен­ ней энергии воздуха за счет диссипации обычно малы по срав­ нению с изменениями, вызванными притоком тепла и работой сил сжатия, поэтому в динамической метеорологии принято пре­ небрегать величиной е в уравнении (2.1.17).

На основании кинетической теории газов можно предпола­ гать, что внутренняя энергия связана с внутренними параметра­ ми газа: температурой и давлением или температурой и объе­ мом

Ев = Еа(Т,'Ѵ),

тогда

идеальных газов эта частная производная точно равна 0) и, сле­ довательно, внутренняя энергия зависит только от температуры

14

I