Файл: Мельникова И.И. Динамическая метеорология учеб. пособие для океанологов.pdf

тицы вокруг вертикальной оси,

обозначается Й, и связана с

составляющими скорости ветра соотношением

()

дѵ

ди

(7.1.9)

дх

ду’

ди

l i t - и4

д у ~

2г

< 0

:довательно, Й,

В

свободной

атмосфере,

где выполняются

соотношения

(7.1.3),

(7.1.4), с

достаточной

точностью можно

принять

р

1 /д°-Ф д*Ф\

1

I

\дх'г

'

-1-

I V2 Ф.

дуд!

Рис. Ü6. Распределение ветра

в обла­

сти

низкого давления

Т-акнм образом, поле вихря однозначно связано с полем гео­

потенциала (или давления). -

ч

Уравнение

(7.1.2) для эволюции й г называют уравнением

вихря.

Впервые

оно

было

получено

и

проанализировано

А. А. Фридманом и в настоящее время является основным прог­

ностическим уравнением.

Согласно

равенства

(7.1.9),

уравнение

вихря может

быть

получено из уравнений движения, если первое из них дифферен­

цировать по у,

а второе — по х и вычесть

из

второго

первое.

Тогда после несложных

преобразований получается

dt "~г dx ‘ dy ~г " !!\дх ~ г'

ду)

р1 [дх ду

ду дх)

, I du

,

dv\

dl ■

dl

- И т -

+

7

—U ----- Ѵ ~ .

\дх

dvl

dx

{dy

Поскольку I — 2е> sin ср

можно считать величиной постоянной

dQ

dQ

dH

-1 st —I—//

-L'v -ІЛ :

d t +

дх ^

ду

1 (dp

dp

do dp\

\âx

ду

dy dx)’

dila

.іди

.

d v

1 ,

1 [ d p

d p

d p

d p *

dt ~

'\дх ~ т d y

) + f > * ( d x d y

d y

d x ) '

Последнее слагаемое в равенстве (7.1.10) можно переписать,

используя геострофические соотношения и —-----~

v = jj- X

dp следующим

образом:

J j ' Ф ЩР _

dy

2 E \ — - J - (

È L 4- 7, A n

Ръ\'дх dy

д х ! ~ "

р \

d x ^

дуІ[

11

16.1

І|5= м , - №

dt

или, если изменить порядок дифференцирования,

Г

дФ

І А * - І Ю .

(7.1.11)

dt''

Здесь А* —

dQ

— адвекция вихря.

а

дх

+

V

Если из уравнения

(7.1.11)

найти Ф,

то на основании (7.1.3)

п (7.1.4) нетрудно найти поле ветра, па

основании (7.1.6) — по-

• ле температуры,

а

из

(7.1.5)— вертикальную скорость.

дФ

(7.2.1)

^ T t =1А:;,

Если известно распределение Ф(л:, у) в момент t,

то величину

А :, нетрудно рассчитать и использовать уравнение

(7.2.1)

для

отыскания

<9Ф

л

интервала времени At

этѵ

.

В течение короткого

величину можно считать постоянной,

и определить

поле Ф (х,у)

в момент tA-At, считая, что

Ф {х, у, tA-At) =Ф (х, у,

,0 + ^ А t.

(7.2.2)

По вычисленному «юлю Ф (х,у)

можно вновь

рассчитать А<:,

дФ

— и Ф (х,у) в момент t -j- 2At.

Такой метод называется методом шагов по времени. Он дает

тем более точные результаты, чем меньше шаг

At (поскольку

равенство (7.2.2). представляет

разложение в ряд

по параметру

ляется интервал в один час.

уравнения

(7.2.1),

Остановимся теперь на интегрировании

которое необходимо выполнить, чтобы,

имея

„

дф

'

А ■>, получить-^ .

Для получения однозначного решения надо задать граннч-

ные условия, т. е. надо знать значения

дФ на границах области

д Ф

г

интегрирования. Допустим, что нам известію —^ и равно

Г ^ на

дг

1

1

+ 1

дг'і

г дг ' г2 д\}-’

где г (радиус-вектор) и #

(полярный угол) — координаты точки

в полярной системе.

Уравнение (7.2.1) записывается

ff-F_

J _

OF

J

_

cFF_

d r 2 '

r

i) r

^ r2 дЬ'-

дФ

где F = ~ді'

Полученное уравнение умножим на г/й, проинтегрируем по О

в пределах от 0 до 2л и разделим па 2я

1 2?d2F

öF,

1 2f

1

2-

2- ,

2~д' дг2

■sPrf,b

Поскольку г и ö — независимые

переменные, поменяем мес­

тами дифференцирование и интегрирование. Тогда

± ( ±

2-

2

д г \ 2 -

Fdb

-J lA9dti,

дг

2т:

2т

так как

dp, 2-

(М

= О (â — О и 0 = 2л соответствуют одной

о

1

2?

_

1

2ѵ

.

\ I'd' '

--г / і

2~

I l-A'jCf-ty — LAs.

“ ’ о

Іі

</-/*’ , 1 оГ

,

d\F

,

1

rf/’"

ІА ,—-0.

(7.2.3)

rfr2

r

r

dr

? (г ) I

2 -J

dl).

r — R

dt.

R

Нетрудно понять, что----:

|I

при разных значениях §

будет

<п г

R

иметь разные знаки и при достаточно большом R значение ин­

теграла будет близко к нулю, а потому можно принять

F(r)

г0.

(7.2.4)

г~rR

F(r) I

='Д(0) Ф<х>.

(7.2.5)

г— 0

‘