Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf

и задача сводится к определению W таким образом, чтобы первая вариация функционала (5.19) обращалась в нуль.

Первый этап решения сформулированной игровой зада­ чи, включая вычисление первой вариации функционала (5.19), целиком совпадает с соответствующим этапом реше­

'- / с о

-GJjQ-'A) Р - 1] + 5 Ф [CD.Qr'G.GQ-1 +

а полиномиальные матрицы Л и В должны удовлетворять требованию аналитичности в правой полуплоскости матрицы

'Р — М -1

Z =

А В

Следующий шаг при решении сформулированной задачи уже несколько отличается от решения, приведенного в гл. 1. Ввиду наличия отрицательных множителей Лагранжа мат­

рица Q7l G^GQ~l уже не будет положительно определенной и ее нельзя представить в виде произведения двух сопря­

где Н — вещественная матрица, аналитическая вместе с об­ ратной в правой полуплоскости, Т — симметрическая мат­ рица с постоянными элементами.

1 Факторизация (5.20), в отличие от приведенной в предыдущих главах, где Т = Е, имеет место для любой параэрмитовой матрицы, не имеющей вместе с обратной полюсов нечетной кратности на мнимой оси.

127

Матрица Ф, обращающая в нуль первую вариацию функ­ ционала (5.19) и имеющая полюсы только в левой полупло­

скости, запишется в виде Ф = —Я - 1 (Ко + К+) Г-1 , где аналитическая вместе с обратной в правой полуплоскости матрица Г получается в результате факторизации матрицы 5ф, т. е. = ГГ..., а матрицы Ко и К + определяются из оазложения

Ко + К+ + К - = (T~lH -'Q -lN:i;R - НА) Р -'Г (5.21)

(элементы матриц Ко — полиномы от s, К + — правильные дроби с полюсами только в левой полуплоскости, К - — правильные дроби с полюсами только в правой полупло­ скости).

Решение задачи, т. е. искомая матрица W, определится формулой

W = [(К0 + К+) Т~ХМ - Н ВГ' 1(К0 + К+) Т~'Р + НА].

(5.22)

Как и в задаче оптимальной стабилизации, матрица \Ѵ не зависит от конкретного выбора матриц А и В, удовлет­ воряющих требованию аналитичности матрицы Z вместе с обратной в правой полуплоскости. Доказательство этого

и не зависит от элементов матрицы Если к тому же параметры объектов позволяют выбрать

матрицы А и В в виде А = Е, В = 0, то процедура опре­ деления матриц Ко и К+ значительно упрощается. В этом случае Q = N и, согласно (5.20),

я = т-'я.-'я:1[NJRN + д; (S) ЛДр (5)1я - 1=

=T -'H -'R + T -'H -'P JA -'A M -'P ,

аматрицы Ко и К+ определяются из разложения

Отметим, что, согласно результатам гл. 2, решение за­ дачи в виде (5.23) может быть использовано при решении

128

игровых задач с ненулевыми начальными условиями и ну­ левыми внешними возмущениями.

Примеры. I. Рассмотрим игровую задачу о сближении двух объектов. Движение первого (догоняющего) объекта описывается уравнением хг = их -f- ф1( а движение второ­

го (убегающего) — х2 = и2+ ф2.

Возмущения і ^ и ^ являются стационарными случайны­ ми процессами с нулевым математическим ожиданием и ма-

При ограничениях на управляющие воздействия

(и2) = к 2

требуется найти закон управления [ult и2У = W [хи х2У (матрицу W передаточных функций регулятора), обеспечи­

вающий минимаксное значение (min max) функционалу "і «і

е0= <(Xi — x2)z).

Решение задачи сводится к исследованию стационарных

Приступим к решению задачи. Требование аналитич­

ности матрицы Z~l в правой полуплоскости удовлетворим, положив А = Е2, В = 0.

Так как Др (s) — s2, N = sE2, Q — sE2, то

симметрической матрицы Т, воспользуемся алгоритмом Дэ­ виса.

130