Файл: Ларин В.Б. Синтез оптимальных линейных систем с обратной связью.pdf

'P (s)

— ZW(s)’

'Fxto'

' 1 '

а (s)

=

Z

—

ß (s) _ .F u(s).

f u (S).

. Ф (s)

det Z = а (s) М (s) + ß (s) Р (s) = Q (s)

(1.41)

полиномов а (s) и ß (s),

как видно из формул (1.37), (1.38),

достаточно доказать равенство

B -(s) =

B -(s).

Пусть П — матрица, определяемая уравнением

Z =

nZ,

(1.42)

т. е.

Р (s)

— A4 (s)

P(s)

— M (s) — 1

П = ZZ- ' =

а (s)

ß (s)

_“ (s)

ß(s)

1

0

‘

g(s) ß (s) — ß

(5) а

(s) у

Q (s)

(1.43)

Q ( s )

Q(s)J

где

Q(s) =

det Z,

Q (s) = det Z.

Как видно из (1.43), матрица П имеет структуру

П =

1

О

Пх (s) П, (s)

а (s) =

Пх (5) Р (5) +

П2 (5) а (s),

ß (s) =

(1.44)

— Пх (s) М (s) -f- П2 (s) ß (s). j

Согласно (1.39)

и (1.40),

1

R ^ T ^ S )

B-(s) =

Q(s) Г 0(s)

G{~ S)

R (s) =

rß (s) М (— s) — (с — s2) а (s) P ( — s).

Учитывая (1.44)

и (1.41), получаем

R (s) =

-

Пі (s) G (s) G ( - s) + П2 (s) Я (s),

Q (s) = П2 (s) Q (s),

,

{ -

П , (5) G(s) G ( - s) + n 2 (s) fl (s)) Г , (s) 1

W

G ( - s) П , (s) Q (s) Г 0 (s)

I.

Пусть движение объекта описывается дифференциаль­

ным уравнением

р"~х +

рх — 2х — ри -f и -J- ф,

Р ~ - jf,

(со) =

ь., _І_ м2 .

Требуется определить уравнение регулятора

(1.45)

W0(p)u =

W (p)x

(1.46)

(операторные полиномы W0 (р)

и W (р)) так,

чтобы на

классе

устойчивых замкнутых

систем

минимизировался

P{s) = s2 +

s — 2 =

(s — 1) (s +

2),

/W (s)=s + 1, S*(s) =

bi-A- r ,

т. e. 1^ =

1, Г0 = Ь + s,

W (s) = І ^ 1(s) W (s).

(1.47)

Для того чтобы полином Q (s) =

ß (s) Р (s) -f- а (s) M (s)

= 0, а (s) =

1, т. е. Q (s)

= М (s) = s 4- 1.

Согласно (1.40),

(1.39),

G(s)G(— s) =

(c + s)(c — s)(2 +

+- s) (2 — s)(l

+ s ) ( l

— s)

(г =

0),т. e.

G(s) = ( l + s ) ( 2

+ s)(c +

s),

R (s) = (c -f s) (c — s) (2 — s) (1 -I- s), В (s)

=

(c + s)

(6 + s ) ( l - s )

T. e.

ß_ (s) =

( c + О

( 6 + l)(l — s)

(1.37),

определится формулой

W(s)

=

( s - l ) ( s + 2 )0 + s ) ( c + 1)

(с + s) (с — s) (— I — s) (2 — s)

(ö + 1) (1 — s)

(c — s)(l — s)(2 — s)

(1 + s)(6 + s)(c + 1)

1

^

(è + 1) (1 — s)

J

( c + 1 )

(2 + s)(ft + s)

(1.48)

(c — b)

(1 + s)

_ (s — 0 (s +

2)

— (s + 1)

^

(s + 2) (b +

s) (c + 1)

(1 + s) (b — c)

ГТ

II. Пусть

Р (s) =

s'1-[- 2

ciiSn~! — полином,

все

нули ко-

г=і

М — const,

торого расположены в правой полуплоскости,

S,i) (со) =

Х?|Ь минимизируемый функционал имеет тот же вид,

что и в

предыдущем

примере,

т. е.

е = с2 (и2) + (и2).

Полагая ß =

0, а =

получаем det Z =

Р$-\- Ма =

=

1, т. е.

Q (s)

=

1 — не

имеет

нулей в правой

полупло­

скости.

Подставим необходимые величины в (1.40)

и

(1.39):

G (s) G (— s) =

(с2 — s2) Р (s) Р (— s),

т.

е.

G (s) = (с +

s) Р (— s);

^(s) = - ^ ( c

z- s

2) P ( - S); B

( s ) = ~ h - ( c

+ s)p- ^ ,

т. е.

В+ (s) = 0, В0(s) =

( -

1)п+1 (s +

с -

2а,),

B_(s) = B ( s ) - B 0( s ) - B + (s) =

М

(С +

S) X

X

P ( - s)

( - l ) n+I(c +

s - 2 ßl)

P(s)

и,

согласно

(1.37),

W (s) =

----------- P(?)B-(s)

P(s)B-(s)

+

Mß-(s)

M [B -(s)— B(s)]

P(s)B-(s)

[So (s) + B, (s)l M

_

(C+

S-2 fl1) P (s ) - (C+

s )( - l)'1P (- s )

(1.50)

■"

M (s -j- c — 2ax)

vw /„ч _ _

(с ~Т s 4~ 2а) (s — а) — (с -f- s) (s а )

2а (а 4- с)

'

'

— /И (s +

с 4- 2а)

М(s 4- с +

2а)

Так

как В (s) = -----(с +

s)

V (с +

s) (— s — а)

TO ß_ (s) -

—

2іЛд, (с 4" a)

и,

согласно

( s - f l )

M (s— а)

(1.38),

/со

4па (а +

с)2 Ц,

<?шіп = 4 - J В - (S) В - (— S) ds =

W

— /C O

§ 3.

С И Н ТЕ З

С И С ТЕМ

С ТА Б И Л И З А Ц И И

П Р И . П

В Н Е Ш Н И Х В О З М У Щ Е Н И Я Х И т У П Р А В Л Я Ю ­

Щ И Х В О З Д Е Й С ТВ И Я Х