Файл: Кузьмин Э.А. Гармонический анализ динамических систем учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 13.07.2024

Просмотров: 152

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

нужно привести к стандартной форме:

(3.67)

Сравнивая (3.67) с (3.56), получим, что

- — —— Sift -rr-

h*

t + Л sinÇàjr cotent-,

т . е . в разложении

собственно периодического коэффициента

&(t)

отсутствует постоянная составляющая.

 

Подставляя

значение Оі^ в (3.42), получим конкретную фор­

му определителя для случая, когда в импульсной системе иссле­ дуются собственные периодические движения, имеющие частоту

квантования 277

ѳ• .

 

 

 

О

-2- Sin =rjr

0

•

 

 

 

 

tor

r

 

 

 

• /+

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-2*-*' Ф>4*

.(3.68)

 

 

 

 

 

 

 

4,= CT L

 

 

 

 

 

 

\2h7r

Т

 

 

•t-t

 

IQ..-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

QT

eh

 

 

4• 4ta

'

4-

:

£t>T T

:

&

1

 

 

С помощью определителя

(3.68)

можно найти

приближенные

условия периодического режима, ограничивая рассмотрение различ­

ным числом учитываемых гармоник

в сигнале Uftj • Естественно,

136

.

«

что в данном случае трудоемкость расчета будет существенно

зависеть от соотношения длительности

импульсов .6

и их пе­

риода повторения

Ѳ = Т .

 

 

Составим в качестве примера первое приближение, учиты­

вая лишь одну гармонику в периодичеоком сигнале yft)

• Вы­

деляя в (3.68)

первые три строки и

столбца, после

решения

определителя

Д

, получим:

 

 

•êhjrJ "Г

+fr-)WЛіпфж

I

 

=• О.

(3.69)

Л Г У

T

 

1

 

 

Не трудно убедиться, что выражение (3.69) в частном слу­

чае, при

 

совпадает

с первым приближением

(3.54) ус­

ловия существования периодического режима в системе с комму­ тируемым коэффициентом передачи. Отметим также, что при /)*Т, когда импульсный сигнал превращается в непрерывный постоянный, условие (3.69) приводит к абсурду: 1 = 0 . Это говорит о том, что для стационарной системы периодический собственный режим невозможен. Вывод понятен, так как при выводе общего условия периодических режимов (§ 3.3) стационарная система была при­ нята устойчивой.

По определителю (3.68) могут быть получены более точные условия периодических'режимов. Очевидно, что с меньшими зат­

ратами это может быть выполнено, если

задана

конкретно.дли­

тельность импульса

h

. Поэтому

рассмотрим

вначале один

.важный частный случай, когда h= О

,

т . е . когда система

имеет мгновенный съем данных. •

 

 

 

Учитывая, "что

lern -г-—-

=-Ж{С -

,

 

Ь^о

Л*К

Т

т

] ; 3 7

определитель (3.68) запишем следующим образом

1

- А ? ;

О

 

2PD

 

о

;

 

 

 

 

-BP,

 

о

\

в,

•

 

:

Щ

:

°

.(3.70)

 

 

 

 

 

\

 

 

О

:

 

\

-Q*

\

 

 

 

 

 

 

 

-я

щ

О

.

- 3

 

 

 

 

 

 

 

 

Первое приближение условия периодического режима, получен­ ное по определителю (3.70), имеет вид:

/+ (Wo -

р%р> =а. •

(3.71)

Решая (3.70) как, определитель 5-го порядка, получим второе приближение:

-С6$- 4У€Ъ*+/?%) * + о. (3.72)

Приближенные условия вида (3.71), (3.72) позволяют при заданном

периоде квантования

Т

определить параметры стационарной час­

ти -JT ]г/(р) ,

при

которых существует периодический процесо

в замкнутой импульсной системе. Они же дают возможность решить обратную задачу: определить период квантования, при котором в

оистеме существует периодический процесс. Ясно, что точность 138

решения будет тем выше, чем больше гармоник искомого процес­ са учитывается.

Решение вопроса о существовании периодического движения в импульсной системе было выполнено с помощью общей методики, путем искусственного выделения постоянной составляющей /е0

коэффициента передачи ,к(£)

. Рассмотрим этот же вопрос,

используя условие существования периодического режима при

= 0 (3.20).

Повторяя дословно все выкладки § 3.4 для урав­

нения (3.20),

получим, что форма общего определителя

(3.42)

остается прежней. Разница состоит лишь в том, что вместо

частотных характеристик замкнутой системы

и

в оп­

ределителе должны использоваться соответственно вещественная

/Р и мнимая X

частотные характеристики системы в разомк-

нутом состоянии.

Учитывая разложение в ряд Фурье (3.66) коэф­

фициента - к(і)

.при

h—-О

получим:

 

 

J?

К= 0, I , 2,

 

 

Г

 

Поэтому для рассматриваемого случая мгновенного съема данных получим из определителя (3.42):

 

 

 

 

•

о .

 

 

о

 

. Г Кі

 

 

О

 

 

о ; (3.73)

â »

J-J

t

:. • -Л j •

/

• і г

 

О

п

T

Т J1

 

 

 

 

 

 

Т

кг

 

'

О

• *

M - 0

-

А

/

'• 2 *

:

€

 

 

 

; rJè

 

* *

139

 

 

 

 

 

 

 

Решая определитель (3.73), как определитель 5-го порядка, найдем второе приближение условия существования в замкнутой импульсной системе периодических движений, частота которых равна частоте квантования:

/ * Н + Н ' + 7 Ъ т

° -

(3.74)

В данном случае форма определителя

такова,

что можно легко по­

лучить любое приближение искомого условия. В пределе, при уче­ те точной формы периодического процесса » получим:

Таким образом, мы приходим к известному условию границы устойчивости импульсной системы [7,33] :

оо

 

 

* K ^ J ]

, если CJ =

Q

С точки зрения решения поставленной задачи уравнения

(3.72) и (3.74) с одинаковой

точностью определяют

возможность

периодических движений системы и поэтому эквивалентны. Однако уравнение (3.74) несравненно проще для анализа. Кроме того, в него входят частотные характеристика системы в разомкнутом

состоянии, расчет которых выполнить легче, чем расчет частот­ ных характеристик замкнутой системы. Поэтому расчет условий периодических режимов с использованием частотных характерис­ тик разомкнутых систем можно рекомендовать как общий прием

наравне о описанным в § 3.4. При этом, структурное

представ­

ление системы с периодическим коэффициентом /cfl)

= /Со /

Cf)

имеет вид, показанный на рис. 3.19.

 

 

140

 

 

Смотрите также файлы