Файл: Кузьмин Э.А. Гармонический анализ динамических систем учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 13.07.2024
Просмотров: 151
Скачиваний: 0
WCD)
Рис. 3.19.
Чтобы составить условия незатухающих собственных движений
в оистеме в этом случае достаточно |
в определителе |
(3.42) |
вмес |
||||
то частотных характеристик замкнутой системы р£ |
и QK |
поста |
|||||
вить частотные характеристики разомкнутой системы |
|
||||||
а вместо -тг |
взять |
Ка * -g- |
|
т . е . отнести постоянную |
|||
составляющую коэффициента |
К0 |
к |
постоянной составляющей ос, |
||||
периодичѳокой |
части |
Кп |
(£) |
|
|
|
|
К сожалению, в общем случае переход к частотным характе |
|||||||
ристикам разомкнутой |
системы не приводит к таким |
большим уп |
|||||
рощениям, как в импульсной системе о мгновенным съемом данных. Возвращаясь к уравнениям (3.74) и (3.75), отметим, что
они позволяют сделать общие выводы о периодических режимах им пульсных систем. Например, если в системе применен в качестве формирующего элемента фиксатор, из уравнений следует, что перио дический режим с частотой, равной частоте квантования, возмо жен в системе только тогда, когда линейная часть содержит кон сервативные звенья. Действительно, если
то
7„ OS)
со
Так как при cù=/cQ |
зіг>соТ~0 и |
/ - |
COSCÙT, |
|||
вещественная частотная |
характеристика |
RO^) |
'будет отлична от |
|||
нуля при ]c£>=tc& только в том случае, когда |
О-?) имеет |
|||||
при со = к"Я |
полюс. |
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
вопрос |
о существовании |
в импульсной |
оистеме о |
||
мгновенным съемом данных периодических движений о частотой, равной половине частоты квантования. В этом случае порядок рас
чета остается |
прежним, |
но в гармониках разложения |
кСО |
в ряд |
||
частоты должны быть удвоены. По отношению к периоду 7* |
иско |
|||||
мого процесса |
yft) |
ряд для |
имеет вид: |
|
|
|
|
2 |
|
4 C0i2Qt + 4rCol4S2t |
- |
|
|
|
|
|
|
52. r |
(3.76) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определитель |
An |
, |
составленный |
по выражению (3.42) с |
уче |
|
том (3.76), после некоторых упрощений можно записать в следую щей форме (при учете трех гармоник yft) )'•
|
о |
о |
|
О |
|
О |
|
4 - |
о |
(3.77) |
|
о |
|||
|
|||
0 |
|
о |
|
Раскрывая А, |
получим третье |
приближение: |
Выполним в качестве примера с помощью уравнения (3*78) анализ 142
замкнутой импульоной системы, имеющей формирующий елемѳнт ну левого порядка. В этом случае
. |
|
g fco) « a s s |
s ^ |
* |
|
±g£?j,f*>.. |
|
( |
€ - |
период квантования). |
|
|
|
|
|
|
Так как рассматривается периодический |
процесс, |
частота |
||||
которого |
равна половине частоты |
квантования, |
его период Т*2Ѳ. |
||||
Поэтому |
= О |
для четных К |
, |
К ¥ О |
. Учиты |
||
вая |
это, уравнение (3.78) |
преобразуется к виду |
С%г~: |
||||
Так как для устойчивых в разомкнутом состоянии систем
Р ~К>0 |
, сокращая |
на |
^ / 6 , , |
приходим к обычному уо- |
ловию границы устойчивости импульсной системы. |
||||
Следовательно, |
уравнение (3.78) |
эквивалентно амплитудно- |
||
фазовому критерию устойчивости для импульсных систем при уче те конечного числа членов ряда:
143
§ 3,8. Определение периодических решений уравнения Матье
В качестве стандартной формы уравнения Матье примем сле дующую его запись [ 6 "\ :
|
|
,І |
-/ ($+26 |
COS 2^ у |
= О, |
|
|
|
j |
p |
- |
(3.79) |
|||
где |
ф* |
- |
безразмерное |
время; |
|
|
|
|
а" и <5 - вещественные независимые переменные. |
|
|||||
|
Известно, |
что характер решения уравнения Матье |
зависит от |
||||
соотношения |
|
£ |
и 3~ . При определенных |
значениях |
|
||
решения становятся периодическими и называются функциями Матье. Совокупность кривых £ =У (S[) , построенных по значениям коэффициентов, обеспечивающих периодические решения уравнения (3.79), называется характеристическими кривыми [ 2 ] - Пост роим характеристические кривые, используя изложенную выше мето дику. В качестве основного периода решения выберем 2Я7 т . е . бу дем рассматривать периодические решения, имеющие безразмерную
частоту V = |
I . |
Переходя |
в (3.79) к изображению по Лапласу, получим: |
(р+ &)Y(p) + е[Уфу2) |
+ |
Уфу-2)}-ру^-ф.^) |
||
Начальные условия |
и ' < / |
н е в л ш ш т |
н а усло |
|
вия существования периодических |
решений. Это было |
подробно рас |
||
смотрено в § 3.3. Поэтому исходное уравнение для анализа |
будет |
|||
иметь вид: |
|
|
|
|
(р + &) У(р) + ä[Yyp-j2) |
* Y(py2)] |
- о. |
(3.81) |
|
144
Будем искать решение уравнения (3.81) в виде:
В этом случае получим:
Подставляя |
(3.83) в уравнение |
(3.81), |
можно выделить |
из не |
|||
го уравнения по гармоникам и произвести определение |
приближенных |
||||||
характеристических |
кривых |
с5 -Jn |
Са^) , |
задаваясь |
различны |
||
ми значениями |
П |
. |
|
|
|
|
|
Перед тем, как приступить непосредственно к решению, |
сде |
||||||
лаем два замечания. |
|
|
|
|
|
||
Прежде всего |
отметим, |
что при |
<£ |
= 0 мы получаем |
обычное |
||
уравнение консервативного эвена. Из (3.81) следует, что периоди
ческое |
решение будет |
существовать, если |
|
|
|
||||
|
р~+ |
S - |
О ) |
\ |
причем р |
=JK |
5 |
(3.84) |
|
т . е . , если |
$~ |
К |
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
по оси |
S |
сразу можно отметить |
последовательность |
|||||
точек |
â" = |
I , 4, 9, |
16, 25, . . . . принадлежащих характеристичес- |
||||||
ким кривым при |
<5 = 0. |
|
|
|
|
|
|||
Кроме того, предварительные расчеты показывают, что систе |
|||||||||
ма уравнений |
по гармоникам, |
составленная |
из уравнения |
(3.81), |
|||||
при любом числе |
П |
учитываемых гармоник распадается на от |
|||||||
дельные подсистемы, соответствующие четному и нечетному про |
|||||||||
цессу [ |
2 ] |
' Поэтому будем |
искать условия существования сле |
||||||
дующих решений уравнения Матье, являющихся функциями Матье |
|||||||||
10 Зад. 161р. |
|
|
|
|
|
|
' 1 4 5 |
||
Уг,(£) =ÉL b^f sin&K+t)t |
~ se |
, |
Рассмотрим более подробно получение характеристических
кривых <f |
для решения l^j |
^ Ѵ ) |
. Для этого умно |
жим оба слагаемых |
уравнения (3.81) на |
~г (S- |
G fi J : |
Учитывая, что УСФ) ~ Z± п2- |
/ Т ^ - ' и з ( З - 8 3 ) получим: |
Задаваясь различными |
/7 |
, подставляя |
в уравнение (3.85) |
|||
p=j(2H+f), |
К = О, |
I , 2> дЗ,:.., |
|
^ , получим систему |
||
уравнений по гармоникам, |
из которой |
можно определить искомые |
||||
условия. |
|
|
|
|
|
|
Если |
/7=1, т . е . yT1(é*)= |
|
СоЗ t |
-, из уравнения |
||
(3.81) при |
p=j |
получим: |
|
|
|
|
(-1+ |
' + га, |
= о} . |
откуда |
|
|
|
. |
( 3 - 8 7 ) |
146 \
|
Возьмем |
/ 7 = 3 , |
т . е . будем аппроксимировать функцию |
|||||
^іе+і |
|
ЯВУ*"1 |
первыми гармониками:^^)~CÇ |
Cost + Ctbсоs3/ . |
||||
При |
p-j |
и |
p-j£ |
получим |
из |
уравнения |
(3.SS): |
|
|
|
' (-i+fr* |
<s)а, / |
â аь |
= о , |
|||
|
|
|
<SO/ |
+ (9+8) |
Оѣ |
- О . |
||
Отсюда второе приближение характеристической кривой получает ся в виде:
І - (8- 9)£ |
- (8- і)(8- |
9) = о. |
(3.88) |
Третье приближение будет иметь вид уравнения третьего порядка:
£+(-&+ві)і-Ф'Ш-гі)е. |
-(ачУ$-ду#~2з)--ор.т |
|
Таким образом, по мере |
увеличения числа учитываемых гар |
|
моник порядок |
уравнения d-J^(dF) увеличивается. Одновремен |
|
но появляется больше точек, соответствующих периодическому |
||
процессу при |
6 = 0 . |
|
Закон формирования приближений весьма понятен. Поэтому приведем только систему уравнений для четвертого приближения, когда искомое решение аппроксимируется следующим выражением:
У7н О) ~aiCoS |
* * °ІСо$з/ |
+ Qs cos 5i •/ |
of cos ?â ; |
В этом случае имеем: |
|
|
|
/) (~ / / 8* г) at |
+ 6 аъ •= о |
, |
|
10* |
147 |