Файл: Кузьмин Э.А. Гармонический анализ динамических систем учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 13.07.2024
Просмотров: 148
Скачиваний: 0
Результаты расчета первых трэх приближений для характерно-,
тических кривых показаны на рис. 3.20. |
Там же дана |
точная форма |
|
зависимости |
<f =J(Ô\) |
|
|
После определения условий существования периодических ре |
|||
шений уравнения Матье расчет формы функций Матье не |
составляет |
||
труда. |
|
|
|
Подобным образом можно найти условия существования перио |
|||
дических решений у#СО • У a |
и У,у О) |
|
|
149
1
Г л а в а |
ІУ |
БШУІДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ С ПЕШОДИЧЕСКИМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ПЕРЕДАЧИ
§ 4 . 1 . Общая методика расчета вынужденных колебаний
Рассмотрим замкнутую динамическую систему, имеющую периодически изменяющийся коэффициент передачи к(і) (рис.4.1).
X
Рис. 4 . 1 .
На рис. 4.1 выделены две линейные стационарные части контура, имеющие соответственно передаточные функции ЩСр) и W2Cp) , относительно которых будем полагать, что они устой чивы.
Выбранная схема в области изображений описывается систе мой уравнений, справедливой для переменного коэффициента пере дачи произвольной формы (при нулевых начальных условиях):
150
ЕСр)-ХСрУ-У(р) t |
|
|
гср) - |
Ч(р\№> |
|
|
J С |
(4.1) |
|
**tc-jу-'оо |
|
Уф) - ЦФ) UOÙ |
|
|
исключая в системе (4.1) промежуточные переменные, получим уравнение связи системы в виде:
|
|
|
|
|
(4.2) |
г д е / » Ц(р)^сХЦ&)Х&)Кф-Х)А- |
известная |
функ |
|||
ция при заданном входном |
сигнале |
х(£) |
и известных динами^- |
||
ческих характеристиках системы. |
|
|
|
||
Возможности упрощения интегральных уравнений вида |
(4.2) |
||||
для случая |
периодического |
коэффициента передачи к СО |
был* |
||
рассмотрены |
в § 1.3, где |
изучался |
вопрос |
о периодических рет |
|
жимах разомкнутых динамических цепей. Там было показано, -чшвч накладывая определенные ограничения на соотношение периодов
сигнала |
зс(е) |
и коэффициента |
Ar (t*) |
, уравнение цепи -мо |
||
жет быть преобразовано из интегрального в уравнение боле* |
|
|||||
простого |
типа. |
|
|
|
|
|
Используя полученный опыт, остановимся вначале на одном |
||||||
наиболее |
характерном |
случае, когда периоды функций x(t) |
и |
|||
К (à) |
одинаковы, |
т . еі будем |
считать, |
что |
|
|
151
Подставляя изображения этих сигналов
'в уравнение (4.2), получим:
УФ) + |
|
да^/ѴФК^ |
|
Решение уравнения |
(4.3) дает возможность определить пол |
||
иную реакцию системы |
на |
периодическое воздействие |
при |
нулевых начальных условиях. Если ограничиться изучением толь ко вынужденной составляющей реакции, уравнение (4.3) можно преобразовать дальше. Прежде всего заметим, что вынужденные движения системы будем рассматривать для устойчивой системы. Естественно предположить, что в этом случав после затухания переходных процессов в замкнутой системе устанавливаются периодические колебания, частота которых совпадает о частотой
входного |
сигнала x(t) |
. |
Поэтому ff(£)~ У@ ±/?Т) |
, |
|
Уф)~ у — X ' ( f i ) |
и |
и з уравнения (4.3) |
можно сразу |
|
|
получить |
уравнение для |
образующих периодических |
сигналов |
|
|
где |
- изображение образующей |
эквивалентного |
|
входного периодического |
сигнала |
При заданной конкретно форме периодического коэффициента урав нение (4.4) может быть легко преобразовано в разностное или дифференциальное. Условия и возможности были указаны выше.
Полученное уравнение (4.4) по существу совпадает с урав-
152
нением (3.19), поэтому дальнейшее его решение может быть выпол нено так же, как это делалось в главе Ш. Выводы, сделанные там, остаются справедливыми и в данном случае. Они,- главным образом, сводятся к тому, что единственным практически возможным общим способом решения уравнения (4.4) является приближенный спосоо, в основе которого лежит система уравнений баланса по гармони
кам. Поэтому применим методику, описанную в § 3.4. |
для решения |
||||
уравнения |
(4.4). Будем искать изображение |
Y(p) |
в виде: |
||
у |
® , Ä |
, f |
*f+4<* |
. |
(4.5) |
Подставим |
У(р) |
в уравнение (4.4), |
|
|
|
Решим входящий |
в уравнение (4.6) интеграл с помощью вычетов |
||||
в левой полуплоскости. Так как |
рассматривается вынужденное |
||||
движение, |
учитываться |
должны только |
полюсы функции Y(p) • |
||
P*îf'£Q |
. |
I - |
О, I , 2, |
. . . |
В результате получим: |
Y/P) + Ц$)Ч®КФт |
* ЦФ)ЕНС<ЩФуЩЩ^6- \ |
||||
или, группируя подобные члены:
I .-> І
Чтобы перейти к системе уравнений по гармоникам, умножим
уравнение |
(4.7) на |
-~ |
и подртавим |
p*jK& |
. Тем |
|
самым получим связь |
между |
коэффициентами Фурье |
Q. и |
6/ |
||
искомого |
установившегося |
процесса у'(?) |
. Для |
К - |
ой |
|
гармоники |
уравнение |
связи |
имеет вид: |
|
|
|
+
т |
оо |
|
£М//*$ЕиО<Щ**У'^ |
« (4.8) |
|
|
В уравнении (4.8) z^/^^/cS2) = -jo* |
- коэффи |
циенты разложения в тригонометрический ряд функции
Чтобы перейти к системе вещественных уравнений, введем обозначения
К0 Q*st *;<а) = Р>ен (к) +jJmH |
, |
|
Учтем также, что -~^o(jKSt) = ОС^ |
> |
где |
и~ коэффициенты Фурье разложения в ряд периоди
ческого коэффициента передачи |
^ft) |
154
Вводя принятые обозначения в уравнение (4.8), получим два
вещественных уравнения для |
К - о& гармоники: |
3
r
^ / ^ / ^ > ^ ^ 7 - ^ / > * > > ^ ^ 4 |
- 4 . |
(4.10) |
||
Выясним |
значения функции ReC*) и Jm^x) |
, входя- |
||
щих" в состав |
уравнений (4 |
.9) и (4.10). Для этого |
представим |
|
выражение для |
изображения |
образующей K0Cß) |
в виде: |
|
155
Поэтому
При подстановке |
p*jKQ |
функция |
(/-P~p |
) |
= О |
||
Поэтому |
K0(jf(Sl±j'ÎSl^ |
монет |
быть отлична |
от нуля только |
|||
при тех |
значениях |
к |
, когда в нуль обращается ее знаме |
||||
натель. Приравнивая знаменатель нулю, получим соотношение |
|||||||
между гармониками |
сигнала |
y(ty |
и |
коэффициента |
К СО : |
||
Раскрывая неопределенность на этих значениях к |
, |
найдем после преобразований: |
|
' 7"-<^-іЛ-< |
(«>0, |
Подставляя полученные |
значения в уравнения (4.9) |
и |
(4.10), |
|||||
получим окончательные выражения, связывающие коэффициенты |
||||||||
Фурье входного воздействия |
( |
/ * |
и |
^ |
) с |
коэффициента |
||
ми Фурье установившейся.реакции |
системы ( |
CL. |
и 6(> |
) |
и |
|||
периодического коэффициента |
системы ( |
Ос^ |
и |
J&£ |
): |
|
||
156