Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

\imxn

— x.

Мы приходим к

следующему.

Теорема. Если интервал

[а,

Ь] содержит

только

один

корень

уравнения

х =

ср (х)

и

если

производная функции ср (х) во всех точ­

ках интервала

[а,

Ь]

не

превышает по модулю некоторое число

т < / , то итерационный

процесс сходится к

корню

х, причем

за

начальное

приближение

корня можно принять

любое

число

из

ин­

тервала

[а, Ь].

а)

б)

X-f(x)-\-x,

= x.

Обозначая

%-f(x)-\-,x

= q>(x),

приводят

уравнение

(3.8)

к

форме (3.9). Параметр' X подбирают

так, чтобы

величина

ср' (х)

=

= %-f (х) +

1 была по модулю меньше единицы.

Сущность

метода может

быть интерпретирована геометрически.

димости; на рис. 45, а представлен случай ср' (х) >

0 (приближение

по схеме «лестница»), а на

рис. 45, б — случай ср' (х) <

0

(прибли­

жение по схеме «спираль»).

Пример. Найти

методом

итерации

действительный

корень-

уравнения

Xs1

— 2х +

0,5 =

0.

,

За нулевое приближение корня

примем

число х0 =

0,25.

Решим

урав-

нение относительно

х3

+ 0,5

.

• .

х* +

•

0,5

•

х ; х — — • — — ;

тогда будет q> (я) =

= 0.253 +

0,5

0.0156 + 0,5 =

2

*

2

^ =

0.25783 +

0,5

^

0.01713 +

0,5

^ 0 > 2 5 g 6

2

2

х з =

0.25863 +

0,5

^

0.01735 +

0,5

м >

2

2

Предположим, что на некотором интервале

[a, b ] задана

функ­

ция у — f (х). Требуется

построить

такой

многочлен

у = Рп (х)

заданной степени л,

который

в некоторых

заданных

точках

х0,

хп имел бы значения,

совпадающие со значениями

функ­

ции / (х).

Задачу построения многочлена Рп (х), удовлетворяющего

ука­

занным

требованиям,

называют задачей

и н т е р п о л и р о в а ­

н и я .

х0, xlt

. . . ,

хп—\, хп,

Итак, пусть в л + 1 точках

называемых

у з л а м и

и н т е р п о л и р о в а н и я ,

известны

значения

функции у = f (х):

Уо = ?[хо)'

< / i = / ( * i ) >

• • •

• yn-i

= f{xn-^

yn =

f{xn)-

Требуется

построить

и н т е р п о л я ц и о н н ы й

м н о г о ­

ч л е н

степени

л

Рп(х)=а^

+ а ^

+ . . . +dn_lX

+ an

(3.12)

такой,

чтобы

в

узлах интерполирования

значения

функции

/ (л;)

и многочлена Рп

(х) совпадали, т. е. имели бы место л + 1 равенств:

г/о = /(^о) = ^„ (Хо), )

yi = f(xi) = Pn

(*i),

(3.13)

Р,г (X) = А0

(х—Хх)

(Х — Х2) (Х — Х3)

• • • (Х — Хп)

+

+ Ах (х—х0 ) (х—*х2)

(х—х3 )

• • • (х—хп)

+

+ А2 (х—х0 ) (х—хг)

(х—х3 )

• • • (х—х„)

+

+

+

+ А п

(*-*о)

• • • (* - *„ - • )

•

(3-Й)

Коэффициенты

А0,

Alt

А2, . . .

, Ап найдем из условий

(3.13).

у0 = А0(х0—х1)

(х0 —х2 ) (х0 —х3 ) • • • (х0 —х„),

откуда

(л'о — xi)

(хо — хй) (хо — ^'з)

• • • (хо — хп)

Подставив в (3.14) вместо х число хх,

получим:

г/i = Ах {хх—х0)

(хх—Хо) (хх —х3 )

• • •

(х х — х п ),

откуда

Ах

=

1-

ух.

Аналогично

(х1 — Х0)

(х1 — Х2 ) (*! — Л.-3)

• , • (ХХ

— Хп)

могут быть определены

и остальные коэффициенты

"

(хп-хо)

(хп-хг)

(хп~хд

• • ( х п - * « - • )

У"'

Подставив найденные значения А0,

Аг,

. . . , Ап

в (3.14), полу­

чим и н т е р п о л я ц и о н н ы й м н о г о ч л е н

Л а г р а н ж а

р { х ) =

(х

~

* i ) (х

~

-v2) (* ~ хэ)

- • • (л— хп)

у о

+

(х0

— ж,) (х0

— х2) (х0 — х3)

••• (х0 — хп)

|

(х — х0) (х — х2) (х — х3)

•••

(х —

Хп)

^

д

(Х1 — Х0)

(хх

Х2 ) (Хд — х3)

• • • (х1

— хп)

|

(* -

* 0 ) (* -

*l) (Х

-

* 8 )

(Х~

Xn-l)

( 3

(хп -

Хо)(Хп

-

Xl)

(Хп

-

Х2)

• • • (*„

-

Подчеркнем, что в общем случае узлы

интерполирования рас­

+

положены на

интервале

[а,

Ъ ]

произвольно. В частном случае ве­

личина хм-1 — Х[ (i

= 0,

1, 2, . . . , я — 1) может

быть постоянной,

т. е. узлы могут быть расположены в равноотстоящих точках.

Некоторые частные случаи формулы Лагранжа:

1) п — 1 — формула

линейной

интерполяции:

Pi(x) = y = ^ z

^ y a

+ ^ : : ^ y i ;

(3.16)

Х'о — Xi

Xi — XQ

2) п — 2—формула квадратичной

интерполяции:

Р2(х)=у-

(х — xt ) (х — х2 )

(х — А-„) (х — х2)

(х0 — xx ) (х0 • - х 2 )

(хг — л-„) (хг — х2 )

Hz-

(3.17)

(."^2 — # п ) (Х% — Х^)

Геометрически равенство (3.16) может быть

истолковано

как

уравнение прямой линии, проходящей через точки (х0, у0) и {хх,

уг),

проходящей через три точки: (х0,

у0), {xlt

уг),

(х2 ,

у2).

Пример 1. Написать многочлен первой степени, который в точках с абс­

циссами х0 = 0 и х1

= 2 был бы соответственно равен 3

и 11.

Воспользуемся

формулой

(3.16):

У-

-•3-

'

х — О • 11 или

у =

4х +

3.

0—2

2—0

Пример 2. Функция ft (х) задана

таблицей

X

0

2

3

/ (*)

5

13

68

у

( х - 2 ) ( х - 3 ) 5 ,

( х - 0 ) ( х - 3 )

1 3

|

( х - 0 ) ( х - 2 )

•68

( 0 - 2 ) ( 0 - 3 )

( 2 - 0 ) ( 2 - 3 )

( 3 - 0 ) ( 3 - 2 )

= 17х2 — 30* +

5.

Пример 3. На промежутке [0, 3]

задана функция ft (х) = З* — 2х + 4.

Найти

многочлен Лагранжа

третьей

степени,

значения которого в точках

мощью интерполяционного

многочлена

вычислить

значения ft (0,5); ft (1,5),

JS (2,5).

Составим таблицу

X

0

1

2

3

/(*)

5

5

9

25

по данным которой вычислим интерполяционный

многочлен:

( * - 1 ) ( * - 2 ) ( х - 3 )

( * - 0 ) ( * - 2 ) ( * - 3 )

•5-

" ( 0 - 1 ) ( 0 - 2 ) ( 0 - 3 )

( 1 - 0 ) (1 -2) ( 1 - 3 )

(х — 0) (х— 1) (х — 3)

( х - 0 ) ( х -

1 ) ( * - 2 )

25.

' ( 2 - 0 ) ( 2 - 1 ) ( 2 - 3 ) '

( 3 - 0 ) ( 3 - 1) ( 3 - 2 )

f{x0) = u0, f{x^ — t/i, f{x2)

= y2, . . . , f(xn)

= un.

Числа

Уг — Уо = Д#>.

Уг—Ух

= Д # 1 .

Уз — Уг = Д # 2 .

* / „ _ , — # „ _ 2 = 4 , - 2 ,

УП—&-1

=АУп-1

называются р а з н о с т я м и ' п е р в о г о

п о р я_д к а

функции

/ (х). Разности разностей первого

порядка

называются

р а з н о ­

с т я м и в т о р о г о

п о р я д к а

функции / (х):

А2у0 =

Дг/i — Ау0

= у2 — tyi + i/o.

A 2 #i =

Ау% — Ауг

= ys — 2г/2 +

Уи

А 2 г/„ _ 2 - Д у „ _ , - Дг/„_2

= УП~2УП-,

+

Уп-Г

A V i = A i _ V 1 - A J " V . - i ( » = 1 , 2, 3, ... . ,

n-k+1)