Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 14.07.2024

Просмотров: 132

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Известное представление о степени искривления дуги можно получить, следя за углом поворота касательной при прохождении этой дуги. Из двух дуг одинаковой длины более искривлена будет, очевидно, та дуга, при прохождении которой касательная повер­ нется на больший угол.

Пусть касательная к кривой в точке М образует с осью абсцисс

угол ср, а при прохождении дуги ММ эта

касательная поворачи­

вается на угол Аф. Таким образом, угол Аф, называемый

у г л о м

с м е ж н о с т и

дуги МЛ', является

углом, образованным каса­

тельными в крайних точках дуги.

 

 

 

Определение

1. Средней

кривизной

Кср

дуги называется

модуль

отношения угла

смежности

дуги к ее

длине.

 

Рис. 38 Рис. 39

Итак, средняя кривизна дуги ММ по определению равна: Кср —

— . Чем ближе будет точка N к точке М, тем лучше будет

As

величина Кср характеризовать степень искривления кривой вблизи точки М. Таким образом приходим к следующему определению.

Определение 2. Кривизной К кривой в точке М называется пре­ дел средней кривизны, дуги ММ этой кривой при условии, что точка

N неограниченно

приближается к

точке М, так

что длина дуги

ММ стремится

к нулю

(конечно,

если указанный

предел сущест­

вует).

 

 

 

 

 

Итак, по определению

 

Дф

 

 

К = Hm КСп = lim

 

 

As

 

 

•

N-+M

 

 

Впрочем, обычно знак модуля здесь не пишут, а рассматривают кривизну с тем знаком, с которым она получается. Тогда

/ С = lim

Д<р

. (2.32)

As-*0

As

~ds

Таким образом, кривизна кривой в данной точке есть значение производной от угла смежности по длине дуги в этой точке.

Величина обратная кривизне К кривой в данной точке назы­ вается р а д и у с о м к р и в и з н ы R кривой в этой точке, так

62

1

 

О принимают R = со; в случае К = °о

что R = —. В случае /С

принимают

= 0.

 

Пример.

Вычислить кривизну и радиус кривизны окружности радиуса

а (рис, 39). Вырежем дугу MN окружности длины As и пусть Дф будет угол смежности этой дуги. Очевидно, центральный угол, стягиваемый дугой MN,

тоже будет равен Дф, так что MN = As =

аДф. При As —> 0 Дф ->• 0 и фор­

мула (2.32) дает

 

Дф

,.

Дф

1

„

 

1

 

К -

П т

R

 

 

= lim — —

= —

 

К

 

 

As^O As

Аф->о аДф

а а

 

 

 

Итак, кривизна и радиус кривизны окружности — одни и те же

во всех ее точках; при этом радиус

кривизны

окружности

равен

просто радиусу

этой окружности. Отсюда следует, что если

радиус

кривизны кривой

в некоторой

ее точке М

равен

R , то эта

кривая

вблизи точки М

искривлена

так оке, как окружность радиуса R .

2.18.ПРАКТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВИЗНЫ И РАДИУСА

КРИВИЗНЫ

Формула (2.32) неудобна для вычисления кривизны, так как обычно функциональная зависимость угла <р, образованного ка­ сательной к кривой с осью Ох от длины дуги s кривой, не задается.

Пусть

кривая

задана

уравне­

У

нием

вида

у — f (х),

где / (х)

дважды дифференцируема. Тогда

1

у'

=

tg ф, откуда

<р =

arc tg у'

 

и,

следовательно,

 

 

 

 

 

 

л

dy':

y"dx

. (2.33)

 

 

 

1

+у'-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференциал

ds длины ду­

 

ги плоской кривой определяется

 

формулой (2.31). Подставив вы­

0

ражения (2.31)

и (2.33)

в фор­

VР и с - 4 0

мулу

(2.32),

получим формулу,

удобную

для вычисления

кривизны

кривой:

 

 

 

 

Йф

у

 

 

Для

радиуса кривизны

получаем

 

 

 

R

=

± = V+y'2)l

 

(2.35)

 

 

. К

У"

 

F (х, у) = 0,

Если

кривая задана

неявным

уравнением вида

то производные у' и у",

входящие в две последние формулы, на­

ходятся по правилу дифференцирования неявных функций.

Формулы (2.34) и (2.35) справедливы и в случае,

когда кривая

задана параметрическими

 

уравнениями

х = ср (t),

у = g (t), при

условии, что ф (t) и g (t)

дважды

дифференцируемы.

63

Пример 1.

Для прямой у =

kx +

Ь будет у' = к, у" =

0; следовательно

в силу формулы (2.34) кривизна

прямой К =

0 и радиус

кривизны = со.

Пример 2.

В точках перегиба

кривых

тоже у" — 0;

следовательно,

вблизи точек перегиба кривая походит на прямую.

 

 

 

Пример 3.

Найти кривизну

параболы у = х2 . Здесь

у' =

2х, у" = 2 и

 

2

 

 

 

 

 

 

формула (2.34)

дает /С =

тг- • Эта величина

будет

наибольшей,

 

(1 + 4х2 ) ^

 

 

0, где К = 2. Этот ре­

когда знаменатель будет наименьшим, т. е. в точке х =

зультат соответствует геометрической картине (рис. 40), из которой видно, что действительно, при х = 0 парабола искривлена более всего.

2.19. ЦЕНТР И ОКРУЖНОСТЬ КРИВИЗНЫ. ЭВОЛЮТА И ЭВОЛЬВЕНТА

В точке М проведем нормаль к кривой I (рис. 41) и на этой нор­

мали в сторону вогнутости отложим отрезок

МС, равный

радиусу

R кривизны кривой в

точке

М(МС

= R). Точка

С

называется

 

 

 

 

ц е н т р о м

 

к р и в и з н ы

 

 

 

 

кривой в точке М, а окруж­

 

 

 

 

ность

радиуса

R

с

центром

 

 

 

 

в точке

С называется

о к-

 

 

 

 

р у ж н о с т ь ю

 

к р и в и з -

 

 

 

 

н ы кривой в точке М. В силу

 

 

 

 

сказанного в конце § 2.16

 

 

 

 

кривая вблизи точки М искри­

 

 

 

 

влена

как окружность

кри­

 

 

 

 

визны кривой в этой точке.

 

 

 

 

Каждой точке М на кри­

 

 

 

 

вой соответствует свой центр С

 

Рис. 41

 

 

кривизны.

Множество

всех

 

 

 

центров

кривизны

кривой

 

 

 

 

 

 

 

 

называется

 

э в о л ю т о й

этой кривой. Сама же

кривая по отношению к своей эволюте на-

зывается

э в о л ь в е н т о й .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача составления

уравнения эволюты не входит в программу.

Укажем

без доказательства

приемы

приближенных

 

построений

эволюты по эвольвенте и эвольвенты по эволюте.

 

 

 

 

 

1.Каждая нормаль к эвольвенте является касательной к эво­ люте; эволюта как бы о г и б а е т все семейство нормалей к эволь­ венте. Поэтому, если построить достаточно много нормалей к эволь­ венте I, то линия, огибающая эти нормали, и будет эволютой L (рис. 41).

2.Если гибкую нерастяжимую нить, обтягивающую эволюту L , развертывать, сохраняя натянутой, то каждая точка нити опишет эвольвенту / (рис. 41). Этой операции развертывания нити равно­ сильно качение (без скольжения) прямой линии по эволюте L ; каж­ дая точка такой прямой описывает эвольвенту / линии L (поэтому эвольвенту называют еще р а з в е р т к о й ) .

Данная линия может иметь лишь одну эвольвенту, но у данной эволюты существует бесконечное множество эвольвент.

64

ГЛАВА 3

НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

3.1. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ. ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ

Многочисленные задачи математики и прикладных наук сво­ дятся к решению уравнений. Однако лишь немногие типы уравне­ ний могут быть решены точно. В связи с этим возникла необходи­ мость в' разработке приближенных численных методов решения уравнений.

а)

 

5\

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

О'

1 2 *о2

1

5

 

 

 

 

 

- I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-2

 

 

 

 

 

 

 

 

-3

 

 

 

 

 

 

 

 

- 4

 

 

 

 

 

 

 

 

-5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 42

 

 

 

Рассмотрим

некоторые

методы

приближенного

нахождения

д е й с т в и т е л ь н ы х

 

корней уравнения

f (х) =

0. Эту задачу

можно разбить на два этапа:

 

 

 

 

1) определение интервала в котором находится

один-единст­

венный корень уравнения

(в этом случае говорят, что корень о т -

д е л е н ,

или изолирован, что обычно означает нахождение корня

с весьма' малой

точностью);

 

 

 

 

2) вычисление корня с любой наперед заданной точностью.

Численное

решение

уравнения

f (х) =

0

часто

целесообразно

начать с

чертежа' — графика функции у

=

/ (х). Это позволяет

выяснить число точек пересечения графика с осью абсцисс (число действительных корней), приближенное значение абсцисс этих точек или определить интервал, в котором лежит каждая точка пересечения.

Иногда бывает удобнее представить уравнение f (х) — О в форме Ф (х) = 'Ф (х). Построив графики функций у = <р (х) и у = я|) (х), можно найти точки их пересечения, абсциссы которых равны при­ ближенным значениям корней уравнения. На рис. 42, а, б пока-

65

заны графики, позволяющие найти приближенное значение

х0

корня

уравнения х 3 — 2х — 5 =

0. Эти графики

показывают,

что

корень

этого уравнения лежит в

интервале [2;

2,5].

 

Во многих случаях удается подобрать приближенное значение корня или интервал, в котором корень отделен. Например, легко

заметить,

что

корень

уравнения / (х) — ех

+ ё~3х — 4 — 0 ле­

жит между а = 1 и 6 = 2.

Действительно,

f (1)<0, f ( 2 ) > 0 ,

откуда в

силу

свойства

3 функций, непрерывных на замкнутом

интервале

(там же, стр.

176),

и следует высказанное утверждение.

Воспользовавшись таблицей значений показательной функции, установим, что корень уравнения лежит внутри интервала [1,3; 1,4]. Аналогично, подбором можно убедиться, что корень уравне-

ния х3 =

х +

3

/

3

\ 3

л>

3

27

7

 

2 близок к —

:

—

\-2;

— л ; — ,

а корень

 

xs

2

\

2

/

 

2

8

2

 

уравнения

+ х = 1000 близок

к 10.

 

 

 

 

Итак,

графически или подбором

можно

установить

интервал

[а, Ъ\, в котором отделен корень х уравнения / (х) = 0. Ниже из­ лагаются некоторые способы, с помощью которых этот интервал

может быть сколь

угодно уменьшен.

 

 

 

 

3.2. МЕТОД

НЬЮТОНА

 

 

Пусть

задано

уравнение

f{x)

= 0.

.

(3.1)

 

 

 

Будем

предполагать, что

на замкнутом интервале

[а,

Ь]\

1 ) функция / (х) дважды

дифференцируема;

 

 

2)производные /' (х) и /" (х) непрерывны, отличны от нуля и знакопостоянны;

3)имеется единственный корень х уравнения (3.1);

4)известно число х0 , которое можно принять за приближенное значение искомого корня.

Функцию / (х) представим с помощью формулы Тейлора (2.8) при а = х„ и п = 2. Тогда, если х — искомый корень уравнения (3.1), будем иметь равенство:

f(x)

= f (х0) + ( х - х 0 ) 7 ' (х0) +

^ = ^ t

f" (С) =

о,1,

(3.2)

где точка с лежит между х0

и х. Если точка х„

близка

к

значению

х корня, то разность х — хй

мала и, отбрасывая член,

содержащий

(х — х„)2 , получим уравнение для определения нового

приближен­

ного значения

хх

искомого

корня

х:

 

 

 

 

 

откуда

 

/(*o) +

( * i - * o ) f (*о) = 0,

 

 

 

(3.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значение корня хх

 

 

 

 

 

( 3 - 4 )

Полученное

не

является

точным,

так как

оно получено

не

из точного равенства

(3.2),

а

из приближенного

66

Смотрите также файлы