Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

Л«Э

Л 1

•

Поступая аналогично еще раз, найдем

Л д

Л о

*

и вообще

- т £ т < »

= 0,

1, 2,

. . . ) •

(3.5)

f

(*«)

хп+\

Теперь естественно спросить,

при

каких

условиях точка

(« = 0 , 1 , 2 , . . .) действительно будет ближе к точке х, чем точка

хп.

дем

без доказательства.

Теорема. Если

функция

f (х)

удовлетворяет

на

интервале,

[а,

Ъ] перечисленным в

начале

настоящего

параграфа

условиям

и

величины f (хп)

и f"

(хП)

(п =

0,

1,

2, . . .)

одного знака,

то

точка

хп+\

расположена ближе

к точке х,

чем точка

хп.

Обычно вычисления следует вести до тех пор, пока в пределах

требуемой точности

не получится: хп+\ ^

хп.

Метод Ньютона имеет простое геометрическое истолкование.

Построим на промежутке [а,

Ь] график функции f (х). По условию

/'

(х) и /" (х)

непрерывны,

знакопостоянны' и

отличны от

нуля.

Геометрически

это

означает,

что в

любой

точке интервала

[а,

Ы

к

кривой у — f (х)

можно провести касательную,

что

кривая

эта

на интервале

[а, Ъ ] не имеет экстремумов

и либо только выпукла,

либо только вогнута. Так как на интервале [с,

Ъ ] имеется единст­

ресекает ось абсцисс. Выберем на кривой произвольную

точку

MQ

с

абсциссой

х0, но такую,

что

/ (х0) f"

( х 0 ) > 0

(это значит,

что,

/

(х0) и /" (х0)

одного знака),

и

проведем

к этой

кривой

касатель­

определения точки хх пересечения

касательной

с осью Ох:

— f(x0):=f'(Xo)(x1

— x0),

Теперь проведем касательную к кривой у = / (х) в точке Мх

с абс­

циссой хх и найдем

Луо -—У Л 1

/ f a )

— точку пересечения новой касательной с осью Ох. Точка хг

будет

лежать ближе к х, чем точка хг, и т. д.

Пример. С помощью метода Ньютона найти с точностью до 0 , 0 0 0 1

корень

уравнения

f (х) = х3 — 2х — 5 =

0.

В § 3

. 1 мы нашли интервал

[ 2 ; 2 , 5 ] , где изолирован

корень

заданного

уравнения

(рис. 4 2 ) . На этом интервале /' (х) = ЗА:3 — 2

и /" (х)

=

6л: не

, 2 = X l _ Ж .

= 2 , 0 9 4 6 - * 1 « » - 4 , 1 8 Я 2 - 5 = 2,0945 .

Г(хх)

1 3 , 1 6 1 9 — 2

хх = b-

f{b)-f{a)

•f(b).

(3.7)

Пример. Решить

уравнение

х3 — 2х — 5 =

0 с помощью метода хорд.

Корень данного уравнения отделен в интервале

[2; 2,5] (рис. 42). Вычислим

первое приближенное

значение

корня

хх

h

п

2 5 2

- / (а) = 2

^

— • ( — ! ) = 2,0755.

5,625

+ 1

x„ = 2,0755

^

A

U

/

0 D

(-0,2104) = 2,0908.

5,625 +

0,2104

Так

как f, (2,0908) < 0, то

х3 = 2,0908 -

9 с .

.9

попа

— А

и

а и

в

(— 0,0418) = 2,0938;

5,625 +

0,0418

четвертое

приближение

/(2,0938)<0;

д-4 = 2,0938 — — — 2

' 0

9

3 8

(— 0,0084) = 2,0944;

5,625 +

0,0084

пятое приближение

/ (2,0944) <

0;

9 Я

9 (1Q44

хъ = 2,0944

(0,0017) = 2,0945.

—

0,0017

5,625 +

3.4. МЕТОД ИТЕРАЦИЙ

Рассмотрим уравнение

.

/(х) = 0.

•

(3.8)

Если записать его в форме

х = у{х)

(3.9)

Подставив в правую

часть

уравнения (3.9)

число

х0,

найдем

Х\

= Ф (х0);

далее х2

=

ср (хг),

ха

= ср (х2 ), . . . , хп

=

ср (*„_,)

до тех пор, пока в пределах принятой точности не будет хп

^

xn+i.

Выясним

условия,

при которых

последовательность

[хп]

= хх,

хг,

. . . , хп,

. . . стремится к корню х уравнения

(3.9), или при ко­

жим, что функция

ф (х) дифференцируема в интервале изоляции

корня. Если х0 и хг

— соответственно нулевое и первое приближе­

ния корня х, то х =

ф (х), х± — ф (х0). Вычитая из первого равен-

мулу (2.5) конечных приращений Лагранжа, найдем

х—х1 = ф {х) — ц> (х„) =

(х—х0)

ср' (с,,),

(3.10)

где.с0 — число, лежащее

между х и

х0.

Аналогично,

х—х2=

(х—хх)

ф'

(сг),

х—х3

= (х—х2)

ф' (с2 ),

(3.11)

* - * n

= ( * - * ^ - i ) 4 > ' ( c » - i ) '

j

где xz, х3,

. . . , х

— приближенные значения корня х, а сг,

с2 , . . .

C_i —числа, лежащие

соответственно

внутри

интервалов

[х, хг\,

[х, х 2 ] ,

. . . , [х,

хп_1].

Перемножая

почленно равенства (3.10)

и (3.11),

получим

х—хп

= (х-х0)-<р'

(с„) .ф'(С 1 ) • • - Ф ' ^ ) : ,