Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

У а 2 — х 2

Этот интеграл легко привести к виду интеграла формулы 9 таблицы ос­ новных интегралов:

Г*

Способ интегрирования разложением

Этот способ основан на использовании свойства линейности не­ определенного интеграла относительно подынтегральной функции. Суть способа состоит в том, что подынтегральная функция представ­ ляется в виде суммы функций, формулы интегрирования которых известны.

91

обоих чисел т и п эти интегралы обращаются в табличные.)

Для представления подынтегральных функций в виде суммы тригонометрических функций можно воспользоваться известными тригонометрическими тождествами:

sin a cos р = ~y sin (а — Р) + sin (а + Р)],

sin а sin р — •— [cos(а— Р) — cos(a-|- Р)],

cos а cos Р = ~y [cos (а — Р) -|- cos(a+ Р)].

Пример 12.

92

4.4.ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Косновным методам интегрирования функций относятся: метод замены переменной интегрирования и метод интегрирования по частям. Рассмотрим оба метода.

Метод замены переменной интегрирования (метод подстановки)

Основанием этого метода служит свойство инвариантности фор­ мул интегрирования; сущность метода состоит в том, что при помощи надлежащим образом подобранной замены переменной интегриро­ вания данное подынтегральное выражение преобразуется к подын­ тегральному выражению уже известной формулы интегрирования.

Этот прием по существу используется и в способе непо­ средственного интегрирования. Приводя подынтегральное выраже­

где и = х — а. То же можно сказать и относительно других приме­ ров, рассмотренных в предыдущем параграфе. Однако в более слож­ ных случаях, когда непосредственное преобразование подынтег­ рального выражения к виду / х [ф (х)] d ф (х) затруднительно, це­ лесообразно поступать иначе: сначала подобрать формулу замены переменной в виде х = ф (/) или t = ij) (х), руководствуясь конеч­ ной целью подстановки: получить более простую в отношении ин­ тегрирования функцию, а затем преобразовать подынтегральное выражение к новой переменной. В этом и состоит метод замены пере­ менной, или метод подстановки.

В соответствии со свойством инвариантности, формул интегри­ рования при замене х = ф (t) будем иметь

J7(*)d* = J7[q> (/)]dq> (t).

Но так как

мены переменной. В этом равенстве оба интеграла в левой и правой частях представляют собой совокупность всех первообразных для функции f (х). Разница состоит в том, что интеграл в левой части

93

выражает эту совокупность в виде явных функций от переменной

З а м е ч а н и е 1. Справедливость равенства (4.9) может быть установлена непосредственно, путем сравнения производных левой и правой частей. Действительно, дифференцируя обе части равен­ ства по х, будем иметь, учитывая, что х = ц> (t),

=/ ( Ф ( О ) Ф Ч О - ^ = / ( Ф (*)) = /М -

Ф(0

За м е ч а н и е 2. Выбор функций х = ср (t) или t = i|> (x) ограничивается лишь условиями, обеспечивающими существование

уних обратных функций и интеграла в правой части равенства (4.9). Это значит, что функции х — ср (t) или t = i|) (х) должны быть непрерывными, иметь непрерывные производные и обратные функ­ ции.

Обычно подбор удачной подстановки бывает не так очевиден, как в простейших случаях. К сожалению, в этом отношении не существует общих правил, все зависит от навыка и изобретатель­ ности того, кто выполняет интегрирование.

За м е ч а н и е 3. При интегрировании методом замены пере­ менной могут применяться подстановки вида

определяющего одну переменную как неявную функцию другой переменной.

причем для обеспечения существования обратной функции будем ^считать, например, что t > 0. В этом случае обратная функция будет t = Yx- Имеем dx = 2tdt, •

94