Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

Основные свойства целой рациональной функции

Теорема 1. (Безу). При

делении

многочлена

Рп(х) (гс^-1) на

разность х — с,

где с — произвольное

число,

получается

остаток,

равный значению

многочлена

при х =

с, т.

е. при

любом

с много­

член Рп (х) может быть представлен

в виде

Рп

(х) = (х-с)Рп_1

(х) +

Рп(с).

С л е д с т в и е .

Если

с — корень

многочлена

Рп(х),

т. е.

Рп

(с) — 0,

то

многочлен

делится

без остатка на

разность

х — с

Рп (х)={х-с)Рп_1

(X).

Теорема 2 (основная теорема алгебры). Всякий

многочлен сте­

пени

п >- 1

имеет

по крайней

мере

один

корень —

вещественный

или

комплексный.

С л е д с т в и е .

Всякий

многочлен

я-й

степени

разлагается

на

я

линейных

множителей

вида

х — с

и

множитель,

равный

коэффициенту

при

старшем члене

Рп(х)

= а0(х—с1)(х—с2)

. . .

(х—сп).

Здесь clt

Со, с3, .

. . , сп—

корни

многочлена.

В общем

случае

среди чисел сх,

с2, с3,

. . . , сп

могут быть равные. Обозначая через

сх,

с2,

. . . ,

ст

только различные корни многочлена

Рп (х),

можно

его

разложение

представить

в

виде

Рп

(х) = а0

( х ^ ф

{

х -

ф

. . . (x~cjm.

(5.2)

имеет /г одинаковых

корней с. Отсюда: всякий многочлен степени я

имеет ровно я корней (вещественных или комплексных).

Теорема 3. Если

многочлен

Рп

(х) с вещественными коэффициен­

тами имеет комплексный

корень g

+ hi, то сопряоюенное число g—hi

также является корнем

этого

многочлена.

С л е д с т в и е .

В

разложение многочлена с вещественными

ными.

Если g + hi — корень кратности 1г, то сопряженное число

g — hi

есть корень той же кратности.

что произведение

линейных

множителей

lx — (g+ hi)}

[х — (g—

hi) ] =

(x.— g)2 + h2 = x2 - 2gx +

+ (g2 +

h2)

представляет собой квадратный трехчлен вида х2

- j - рх -f- q с ве­

щественными коэффициентами р = — 2g,

q = g2

+ h2, то можно

сделать важный для дальнейшего вывод: всякий

многочлен сте­

пени

п с вещественными

коэффициентами

может

быть ' предста­

влен

в виде произведения

вещественных линейных

и квадратичных

{неразложимых

на линейные

вещественные множители)

множителей

Рп

(х) = а0(х-ф

( х - ф

• • • ( х - ф X

X ^

+

PiJt +

ft)'1

•••

(x* + psx

+ qs)'s.

Множители (х—сх)\

. . ., (х—cr)kr

соответствуют вещественным

корням

многочлена

clt

с2,

. . . , сг

кратности 1гг, /г2 ,

. . . , 1гп а

множители

( * 2 + Pi* + <7i)'1>

• • •>

(*2

+ Ps* + <7s)/s— s-парам

сопря­

женным

комплексным корням

кратности,

соответственно,

l l t

L

ls. При этом

lh + h+-

• • + kr + 2l1 + 2l2

+ .

~.-\-2ls-=n.

сократить.

Определение. Рациональные

дроби

А

.

Мх+

N

(х — а)" '

(x° +

px + q)k

'

где А, М, N,

а, р,

q — любые вещественные

числа,

k — любое на­

туральное

число

и

р2

— 4<7<0,

т.

е.

квадратичный

трехчлен,

х2'+

рх -\- q не имеет

вещественных

корней,

называются

простей­

шими

дробями

соответственно

первого

и второго вида.

Теорема

4.

Всякая

правильная

дробь

может быть представлена

в виде суммы

простейших

дробей,

так

что каждому

множителю

вида (х — с)'1

в разлоокении

знаменателя

отвечает сумма

/г простей­

ших

дробей

первого

типа

Ах

,

^ 2

I

_1

Ak

х — с

[х-су-

' ' "

(х — с)* '

и каждому множителю

вида (х2

+ рх

- j -

q)1 — сумма

из

I

простей­

ших

дробей

второго

типа

MyX +

N-t

M2x+N2

Mtx + Ni

x* +

px +

q

(x* +

px +

qy

' '.

(jfl + px +

p)'

'

причем такое

разложение

единственно.

Рп (х) = а0 [ х - ф

. . . {х—ф

(х2 + Plx +

qtfi...

Рп(х)

Х —

СХ

(X

— Cj)2

+ •

(X —

Cj)

J

£

I

_

i_

_i

i

|_

( x - c 2 ) 2

(x-c2)H

A™

+ . . . +(X-Crfr

+

X

— cr

M\l)x+N[l)

:

h • • • +

M^h+N^

4

—

1 )' 1

X2

+ PlX + ft

(х2 + р1 д: + ?

циентам многочлена Рт(х),

получают

п

уравнений 1-й степени

для определения п неизвестных коэффициентов.

Пример 1.

Разложить дробь

—

на простейшие.

( х + 1 ) 2

(ха

+

1)

Выписываем

разложение

с неопределенными

коэффициентами

Зх2 — х + 5 _

А

В

Сх + Р

(х+1)*(х*+1)~

х+1

~ ( х + 1 ) 2

х 2 +

1

Освобождаясь от знаменателей, получим равенство

Зх2 — х +

5 =

А

(х + 1) ( х 2 ' +

1) +

В (х2

+

1) +

(Сх +

D) {х +

I ) 2 . ' (*)

Приравнивая

теперь

коэффициенты

при

одинаковых

степенях

х слева

и справа,

получаем

систему

четырех

уравнении

с

четырьмя неизвестными:

_ х3

А + С =

О,

х 2

А + В + 2С + D = 3,

xi

Л +

С +

2D =

— 1,

х°

Л + В + £ >

=

5.

Решая

систему,

находим

Л =

1,

5 = — ,

С =

—1,

£> =

2

2

Таким

образом,

Зх2 — х + 5

=

1

9

1

1 2 х + 1

( х + 1 ) 2 ( х 2 + 1) ~ х + 1

2 ( х + I ) 2

2 х 2 + Г

вой части,

находим

сразу

откуда

2В

=

9,

В =

2± .

Полагая

х =

/., при

котором

обращаются в нуль первое 'и вто­

рое слагаемые,

получаем

2 — i =

(Ci

+ D) (i +

l ) 2 = — 2С + 2Di,