Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 14.07.2024

Просмотров: 141

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и, следовательно,

' 1 +1*

J l + (

J

1 + ' 2

= 2 (— /3 — t + arc tg ^ + C. 3

Переходя теперь от переменной t к переменной х, по формуле / = Y~x получим

 

Х ^ Х

dx=

2 (—

xY'x

— Vx+

a r c t g / * ) + С .

 

 

 

 

•А:

 

 

\

3

 

 

 

 

 

 

Заметим, что если бы мы приняли

t <0,

то обратная функция

была бы

t = — У'х, и тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx = —2

Г — —

dt =

—2 (—

t3 — t +

arc tg Л +

С.

 

l+x

 

 

J

1 +

 

 

V 3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

возвращении

к переменной х

имели

бы

 

 

 

 

Х ^ Х

dx =

—2(

 

- х / ж + К * — a r c t g y ^ +

C

 

 

\+х

 

 

 

\

 

3

 

 

 

 

 

т. е. тот же результат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Вычислить J х

V\—7xdx.

 

 

 

 

Этот

интеграл

существует

при всех х <

Здесь

также

целесобразно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

применить подстановку, избавляющую подынтегральную функцию от ради­

кала, а именно t2 =

1 — 7х,

считая t

>

0.

 

 

 

Будем

иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(d(

=

— 7

dx,

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

dx =

 

t

dt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= — —

Г — t*) dt =

— —

(—

t3

— —

A

+ С =

L ^ ( 5 _ 3 m +

49

J

 

 

49

I 3

 

5

/

735

 

+

С =

- £

=

V

(1 -

7x)3

(2 +

21*) +

C.

Часто для получения более простого подынтегрального выра­ жения применяют последовательно несколько подстановок.

95

Пример

3. Вычислить

dx

 

x*Vx*

— 4

 

 

Данный

интеграл существует

в двух интервалах изменения х:

(— со, — 2)

п (2, со). Сделаем замену

переменной по формуле

считая переменную t изменяющейся в интервалах! — , 0) и'(0, —

соответствующих указанным интервалам изменения х. Имеем

 

 

 

 

 

 

 

dx =

 

— dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t-

 

 

 

 

 

 

и,

следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

\ х 2 У > - 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У 7 = 1 Г 2 '

 

Таким

образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tdt

 

 

при

t из

 

~

,

0);

( x < - 2 ) ,

 

dx

 

 

 

V 1 — 4f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 F x 2 - 4

 

 

 

~ t d t

 

-

при

* „ 3

(D,

-

H ;

( J O 2).

 

 

 

 

 

 

 

 

Для вычисления последних интегралов сделаем

новую замену перемен

ной: 1 — 4t2

=

z2 (z

> 0).

Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

— 8tdt

=

2

zdz,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

idt

=

 

 

4

zdz,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и,

следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tdt

 

 

1

 

Г

zdz

 

—

1 dz = •

-г + С.

 

 

 

 

 

 

4

J

z

 

 

 

 

У

1 — 4/2

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

Для возвращения

к переменной х

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

:

У

1 _

4il2

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

1

К х 2

— 4 +

С при

х <

—2,

 

 

 

 

 

 

 

4

 

| х |

 

 

 

 

 

 

 

 

x2Y х2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— 4

 

 

 

1 У х 2

—4

+

С

при

х >

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

| х |

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

96

Полученный результат можно записать одним выражением:

 

 

dx

1 Vxl_—4__, с

 

 

х*Ух*-4

4

 

 

так как при х > 0\х\

= х,

при х

< 0 ] х \ =

— х.

 

Метод

интегрирования

по частям

 

Этот метод является обращением правила дифференцирования

произведения двух

функций.

 

 

 

Если функции

и (х)

и v (х) дифференцируемы,

то известно, что

 

 

udv + vdu = d(uv).

(4.12)

Интегрируя обе части этого тождества и пользуясь формулой (4.8) для неопределенного интеграла от дифференциала функции,

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

j и dv + J v du = uv + C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\udv

= uv—]vdu.

 

" (4.13)

Формула (4.13) называется формулой интегрирования по ча­

стям. Сущность метода интегрирования по частям состоит

в том,

что

подынтегральное

выражение

/ (х) dx

представляется

в

виде

произведения udv,

где

и и

v — функции

от х,

и вычисление,

$ f (х) dx =

§ udv

при

 

помощи

формулы

(4.13)

заменяется

вы­

числением

интеграла

j"

vdu.

 

 

 

 

 

 

Функции и и v выбираются так, чтобы интегрирование выраже­

ния

vdu было проще

интегрирования исходного

выражения

udv.

Очевидно, успех применения метода зависит от того, насколько удачно будут выбраны функции и и v.

Пример

4.

Вычислить

\(х-\-

1) e?dx.

 

 

 

 

 

Здесь целесообразно положить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и =

х + 1,

ех

dx =

dv;

 

 

 

тогда du =

dx,

v =

e* и,

следовательно,

применяя формулу

(4.13),

будем

иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j' (х +

1) ех

dx =

(х +

1) — [ ех dx =

(х +

\)ех — ех + С =

хех

+

С.

Пример

5.

Вычислить

f arc tg х

dx.

 

 

 

 

 

В данном случае, замечая,

что производная от arc tg х есть

алгебраиче­

ская функция

 

, целесообразно

принять

 

 

 

 

 

 

1 + л ; 2

 

к =

arc tg х, dv =

dx;

 

 

 

тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du =

,

v — x.

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

-v2

 

 

 

 

 

97

и по формуле (4.13) получим

 

 

 

 

 

Г arc tg х dx = х arc tg x — Г x

^X

= x arc tg x

— In (1 + x2 ) +

С

J

J 1 +

x-

 

2

 

 

З а м е ч а н и е .

Дифференциальному

выражению

dv

соот­

ветствует бесконечное множество

первообразных v + С [см. фор­

мулу (4.8) ]. При интегрировании по частям можно брать

любую

из них. Изменение

значения

произвольной

постоянной

не влияет

на результат вычисления, поэтому обычно берут ту первообразную, которая отвечает значению произвольной постоянной, равному нулю. Например, если при решении примера 4 взять v — е? -|- Сх,

где Сх — произвольное

число, то получим

 

j (х + 1) ех dx = {х + 1) (ev + Сх ) — J (е* + Сг) dx =

 

=

(х+1)е?-ех

+ С1 + С,

 

где С — произвольная

постоянная.

 

Но сумма Сх + С очевидно

тоже произвольная постоянная.

Обозначая эту сумму опять буквой С (т. е. включая число Сх

в про­

извольную постоянную С), приходим к ранее полученному

резуль­

тату. • Метод интегрирования по частям может применяться последо­

вательно несколько раз.

Пример 6.

Вычислить j" х 2

sin х dx.

 

Полагая х 2

=

и, sin х dx — dv,

находим

 

 

 

J"х2 sin х dx = —х2

cos x -J- 2 Jx

cosxdx.

К интегралу

j x cos x dx

снова

применяем

формулу интегрирования

по частям, полагая х — и, cos х dx = dv. Тогда

j" х2 sin х dx = —x2 cos x + 2x sin x — 2 J" sin x dx =

=— x2cos x + 2x sin x + 2 cos x + C.

Иногда при помощи'повторного применения формулы интегри­ рования по частям^ получают равенство, содержащее искомый интеграл, из которого определяют его выражение. Типичным в этом смысле является приведенный ниже пример.

Пример 7. Вычислить j е0 * cos bxdx.

Полагая здесь, например,

находим

е"* = и,

cos bx dx =

dv,

 

 

 

 

\ е"* cos bx dx = —!- e^sin bx

— f e^sin x dx.

J

b

b J

 

Применяя

к интегралу в правой части' опять формулу интегрирования

по частям, полагая

 

 

 

е<" г =«,

sin bxdx =

dv,

98

получим

 

 

Г е0-*-' cos bx dx =

— e a v sin bx +

ea j : cos bx — -2— fg0* cos bx dx.

Из этого равенства находим выражение для искомого интеграла

в0 * cos

Ьд; dx —

(b sin bx + a cos 6л;) + С.

Ja= + 62

ГЛ Л В Л 5

ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ

5.1.НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЫ

Вначале § 4.3 указывалось, что многие элементарные функции не интегрируются в конечном виде, т. е. их интегралы не являются элементарными функциями. В этой главе рассматриваются неко­ торые классы функций, допускающие интегрирование в конечном

виде. Первым наиболее важным классом функций, интегрируемых в конечном виде, является класс рациональных функций.

Напомним, что функция R (х) называется рациональной, если над аргументом х производится только конечное число арифметиче­ ских действий, к которым относятся сложение, вычитание, умно­

жение

и

деление.

 

 

 

 

 

Всякая рациональная

функция

может быть

приведена

к виду

рациональной дроби:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 6 Л >

где для

краткости

записи

через Рт

(х) и Рп (х)

обозначены

много­

члены

(полиномы) степени

т и п :

 

 

 

 

 

Рп

(х) = а0хп

+ aix"~l + . . . + an-ix

+ a„,

 

 

 

Рт

{х) = box"1

+ bxxm-{

+ . . . + bm-lx+

b,„;

 

здесь

a0 ) ,

. . . , an,

b0, .....

bm — некоторые коэффициенты.

Многочлен есть частный случай рациональной функции; иногда его называют целой рациональной функцией.

Р(х)

Рациональная дробь т к называется п р а в и л ь н о й , если

степень числителя меньше степени знаменателя, т. е., если т<Сп. Если ml^-n, то дробь называется н е п р а в и л ь н о й .

Интегрирование рациональных функций основано на использо­ вании алгебраических свойств этих функций. Приведем без дока­ зательств необходимые для дальнейшего сведения из высшей ал­ гебры.

99

Смотрите также файлы