Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 14.07.2024

Просмотров: 147

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Из определения следует, что кусочно-непрерывная функция может иметь разрывы только первого рода. Геометрически кусочнонепрерывная функция изображается линией, состоящей из конеч­ ного числа непрерывных участков.

У

3

iЛ

-1

о

/| /г з

X

 

 

1

 

У

/ •

1

 

1

0

/'

-1

1

 

1

Рис. 51

Рис. 52

Рассмотрим несколько примеров кусочно-непрерывных функций.

 

' —х2 + 1

при

—1

х < 0 ,

 

 

 

 

 

1. f{x)

= . 2-х

при

 

0 ^ х < 1 ,

 

 

 

 

 

 

л-2 —2х при

 

1 < х ^ 3 .

 

 

 

 

 

Эта функция (рис. 51) на

промежутке [— 1,31 кусочно-непре­

рывная; она имеет две точки разрыва

первого рода: х =

0 и х =

1.

 

У

 

 

 

 

 

[ х— 1

при

X = f = \ ,

 

 

 

2.

 

/(*)=.

X—

1

 

JT

 

 

 

при

Х =

1 .

 

 

 

 

 

 

о

 

2

 

 

Эта функция (рис. 52) кусочно-

 

1

 

 

 

 

 

 

непрерывная

на

всей

оси;

она

 

0

 

X

рода: х =

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3.

f(x)

=<

arc t g —

при

хфО.

 

 

 

1

при

х = 0.

 

Рис. 53

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эта функция (рис. 53) кусочно-непрерывная на всей числовой

оси; она имеет одну точку разрыва первого рода: х

= 0.

 

 

Теорема (теорема существования определенного интеграла).

Всякая кусочно-непрерывная функция

на

конечном

замкнутом

про­

межутке

интегрируема.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эту теорему принимаем без доказательства.

 

 

 

 

С л е д с т в и е 1.

Всякая непрерывная на замкнутом

проме­

жутке функция интегрируема

на этом промежутке. Действительно,

122

так как всякая непрерывная на замкнутом промежутке функция ограничена, то ее можно рассматривать как частный случай ку­ сочно-непрерывной функции на этом промежутке (без точек раз­ рыва).

С л е д с т в и е

2. Все элементарные

функции на

любом ко­

нечном промежутке

их существования, а также все кусочно-непре-

, рывные функции,

состоящие из кусков

элементарных

функций,

на любом конечном промежутке их определения интегрируемы. Приведем простейшие примеры на вычисление определенного

интеграла, исходя из определения и теоремы

существования. Вы-

. числим, пользуясь определением определенного интеграла,

интеграл

от функции, постоянной

на промежутке [а,

ь

Cdx, где

Ь], т. е. j

С — постоянная.

 

а

 

случай, когда а<^Ь.

 

 

Рассмотрим сначала

Так как

подынтег­

ральная функция постоянна на промежутке интегрирования, то ее

интегральная сумма ап

при любом разбиении промежутка и любом

выборе промежуточных

точек

равна

 

 

п—1

 

п—1

 

 

2

CAxk = C У,

Axk.

 

U=0

 

й = 0

 

Но сумма длин всех частичных промежутков равна длине всего

промежутка [а,

Ь]

 

 

 

 

 

 

2

&xk

= b — a,

 

 

ft=0

 

 

 

следовательно,

все интегральные

суммы

(при любом значении п

и произвольном выборе промежуточных точек) имеют постоянное значение

оп = С{Ь—а).

Постоянная величина имеет предел и он равен самой постоян­ ной. Таким образом,

ь

J Cdx = C(b—а).

а

Пусть теперь а^>Ь. В этом случае имеем

Ьа

\Cdx

= — $Cdx = —C (a — b) = C(b—a).

'а

Ь

При а = b очевидно равенство

ъ

\ Cdx = C(b — a).

а

Итак, при любом соотношении чисел а и b определенный ин­ теграл от постоянной на промежутке [а, Ь] существует и равен

123

произведению этой постоянной на разность между верхним и ниж­ ним пределами интегрирования. В частности, при С = О

ь

\Ых-- = 0.

Впрочем, этот результат можно получить и непосредственно. Если подынтегральная функция на промежутке интегрирования тождественно равна нулю, то равны нулю все интегральные суммы, так как каждое слагаемое этих сумм равно нулю. Следовательно, равен нулю и предел интегральных сумм.

Вычислим теперь \xdx. В данном случае подынтегральная

о

функция непрерывна на промежутке [0, 1 ] (она непрерывна на всей

 

 

 

числовой оси), следовательно, по тео­

 

 

 

реме существования,

интеграл

суще­

 

 

 

ствует.

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

Так

как

предел

интегральных

 

 

 

сумм не

зависит

ни

от

способа раз­

 

 

 

биения промежутка, ни от выбора

 

 

 

промежуточных точек, то мы можем

 

 

 

разбивать промежуток

и

выбирать

 

 

 

промежуточные точки по своему ус­

0

 

 

мотрению.

 

 

 

 

 

 

i

х

Разделим

промежуток

[0, 1 ] на п

 

 

Рис. 54

 

равных частей длины Ад:= —

при по-

 

 

 

 

 

1

2

'3

 

 

1

 

 

 

мощи точек — , — , — ,

 

я

 

 

 

 

 

я

л

л

 

 

и в качестве промежуточных точек возьмем, например, левые концы частичных промежутков. Соответствующая интегральная сумма будет равна

П 1 1 1 1 . 2 1 1

I я — 1 1

о_ = 0

b • • • +

= - ^ [ 0 + 1 + 2 + . . . + ( " - ! ) ] •

В скобках получили сумму натуральных чисел от 1 до п — 1, которая равна сумме членов арифметической прогрессии с раз­ ностью, равной 1:

1 + 2 +

+ ( „ _ l ) = £ ( 2 _ z i i .

Таким образом,

л — i

124

Переходя к пределу при п

со, получим

\ xdx — \im —

2п 2

Полученный результат с геометрической точки зрения очевиден. Криволинейная трапеция, ограниченная графиком подынтеграль­ ной функции.у = х, представляет собой прямоугольный треуголь­ ник (рис. 54) с катетами, равными единице. Площадь такого тре­ угольника равна -—.

6.3. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

 

Определенные интегралы обладают рядом свойств, которые ис­

пользуются при их вычислении и в приложениях.

 

 

 

 

 

 

Свойство 1. (Линейность относительно подынтегральной функ­

ции.)

Определенный

интеграл

от

линейной

комбинации

конечного

числа

функций,

интегрируемых

на

рассматриваемом

промежутке,

равен

линейной

комбинации интегралов

от

этих

функций,

т.

е.

 

 

ь

 

 

 

 

 

ь

 

 

 

 

 

 

 

 

.f [Cifi

(*) +

• • • + cjm(x)]dx

= c1$f1(x)dx

+ . . .

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• • • +cm\fm{x)dx

 

 

 

 

 

(6.5)

или,

в более компактной

записи,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx=

k=l

y,ck$fk(x)dx;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

где

с1г . .

 

 

 

Рассмотрим сначала

случай,

когда

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

a<ib.

Любая интегральная сумма для функции cjt

(х)

+ с 2 / 2

(х)

+

+

. . . + cmfm

(х)

может

быть, очевидно,

представлена

в

виде

суммы интегральных сумм для

слагаемых

 

 

 

 

 

 

2

[ci/i Ни) + tfa (У + . . . cjm

&)J Axk =

 

ft=0

 

 

 

n—l

n—l

n—l

 

= S ci/i (lk)

&xk+ 2 c2f2 (tk) Axk + . . .

+ 2 cjm(lk)

Axk.

fe=0 ft=0 ft=0

 

 

 

Вынося в каждой сумме, стоящей в правой части этого равенства, общий множитель слагаемых за знак суммы и переходя к пределу, получим требуемое равенство (6.5).

125

Пусть

теперь

a^>b.

Используя

доказанное,

будем последова­

тельно

иметь

 

 

 

 

 

 

 

b

т

 

 

 

а т

 

 

in

а

I

2

ckfk (*) dx =

—J 2

C F T / F T (x) dx =

— 2 cft

J/A (*) dx- = -

a

 

fc=l

 

 

6

ft=l

fc=l

b

 

 

in

 

j

a

\

m

b

 

 

 

= 2

сЛ

 

—JfA

(x) dx

= 2

ck If* (x) dx.

З а м е ч а н и е . Из свойства линейности определенного ин­ теграла относительно подынтегральной функции следуют, в част­ ности, два практически важных правила, используемых при вы­ числении определенных интегралов.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак определен­ ного интеграла. Если с — постоянная, то

ь

ь

 

$cf{x)dx

= c$f(x)dx.

(6.6)

аа

2.Интеграл от суммы конечного числа функций, интегрируемых по рассматриваемому промежутку, можно заменить суммой интег­ ралов от каждой функции в отдельности:

ь

 

 

 

 

 

 

 

ь

 

 

 

I

Ui (х) + /а (*)+•••

+ fn

Ш

dx = J h (*) dx +

 

a

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

.

b

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

+

J72 (x)dx+

. . . +$fnix)dx.

 

 

(6.7)

Свойство

 

a

 

 

 

a

 

промежутка

интегри­

2. (Аддитивность относительно

рования.) Каковы бы ни были три числа а,

Ь, с, такие, что функция

f (х) интегрируема в

наибольшем

по длине

промежутке,

определяе­

мом этими

числами,

имеет место

равенство

 

 

 

 

]f(x)dx

= ]f{x)dx-Y\f{x)dx.

 

 

 

 

(6.8)

 

а

 

а

 

 

с

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

а<Се<С.Ь;

следовательно,

функция / (х) интегрируема в промежутке

 

[а,

Ь].

Пользуясь тем,

что предел

интегральных

сумм

не

зависит

от

способа

разбиения

промежутка, будем при составлении интегральных сумм для функ­ ции f (х) на промежутке [а, Ь \ точку с включать каждый раз в на­ бор точек деления. Тогда каждая такая интегральная сумма ра­

зобьется на две, распространенные на промежутки

[а, с]

и

[с,

Ь],

Переходя

к пределу при max

Axk -> 0,

получим

равенство

(6.8).

Другие

возможные случаи

взаимного

расположения

точек

а,

Ь, с'легко приводятся к рассмотренному. Пусть, например,

а<СЬ<Сс

По доказанному

с

b

с

f f

(х) dx = j / (х) dx -f- J7 (x) dx,

a

a

b

126

Смотрите также файлы