Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

получим интеграл от рациональной функции

dx

С

dt

cos3.v

J (1 — t°)2

Вычисляя его известным способом (разложением на простейшие) и воз­

вращаясь к переменной х, получим

dx

1

,

1-f-sin*

,

1

sin*

, „

cos3 *

—

4

1П

•

;

1

2

1- C.

1 — sin *

5.4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

ВЫРАЖЕНИЙ

Иррациональные

алгебраические

выражения, вообще говоря,

не интегрируются в конечном

виде. Так, доказано, что уже рацио­

нальные в ы р а ж е н и я

вида R

(х,

)/~Рп(х)}

[где Рп (х) — м н о г о ч л е н

степени выше второй (/г>2) ] и R [х, "УРп

(xfj

[где Рп (х) — мно­

гочлен степени выше

первой

(я>> 1)

и

/л>>2]

за исключением не­

щие интегрирование в конечном виде.

1.

Интегрирование

выражений,

зависящих

рационально

от

дробно-линейной

функции а

х b

(а,

Ь, с, е — ПрОИЗВОЛЬНЫе. Ве­

ся +

6

щественные

числа)

в рациональных

степенях ^

,

, . . .

,

т. е. вычисление

интегралов вида

'III

ИtQ

Ulfe

J

l\cx

+

b\jh

(ax--,-b\fh

(ax-i- b\,4i

dx.

e j

\cx-\-ej

\cx+e)

Рационализация подынтегрального выражения достигается при­

менением подстановки

ах —

b

,р

с* + е

где р — общий знаменатель

дробей

Т± ^ Hh. ^

. . .)

EL.

Действительно; при такой

подстановке

etP — b

х = -

CtP

(ах+Ь\ъ

"h

...

p l

^

^

mk

t'nk

=

fb,

= = t P j ± = t

f £ L ± * W =

сх - f е/

\сх

+

е

a — ctP

где р1г

р 2 , . . . , pk

— целые

числа.

Следовательно,

J Я [х, 'У'а2—x2)dx

= [—7? (| a j cos ф,

| а | sin ф) | а | sin фйф =

=

J jRi (sin ф, с о э ф ^ ф ,

где

R-L — рациональная

функция

своих

аргументов.

Аналогичные

результаты

получаем

в

случае

,

^"R{X,

У а?-\-х2)

dx,

(— оо <л;<5со),

если применить

подстановку х — \ а\ tg ф, считая

^-<<Ф<2-^- ,

и в случае

§Р^(х,~У~х2—a2)dx,

(— о о < < д : < — \а\,

\а\<^х<лсо)

1

л

при

пбдстановке

х = |а|

c

p s

^

,считая

0 < 5 ф < —

при лг?>|а| и

- ^ - < Ф < к при

х < — \ а \ .

Пример 3. Вычислить

СУ

9 — х2

^

Полагаем х =

3

IJ

х2

я

cos t 10 < t < п,

t Ф —

2

У

9 — х2

=

3 sin

dx =

—3 sin t dt

и, следовательно,

.

9 cos3 /

cos2

i

1 -

С

М

а < Л

=

-

f

^ ^

+

1 dt = -tgt

+

t + C:

cos2

f

J

cos2 /

+

arc cos

\- C.

Пример 4.

Вычислить

I

и

- j - mdx,

где т — любое ве-

щественное число.

]

У х

2

+

т

J

Для вычисления первого интеграла введем замену переменной по фор­

муле

t =

x +

Ух2

+ т .

Тогда

I 1 I

~

I

*

х+ Ух2

+ т ,

t

,

dt=\

1 +

,

dx —

/

dx =

r

dx.

Ух2 + т

Ух2 + т

У х 2

+ т

dx

=

dt

Ух2

+

т

~~

t

и,

следовательно,

dx

('

dt

= In U | + С .

Ух2

+ т

J /

Возвращаясь к

переменной х , получим

Ух*

d *

+

= In I х + V x2

+ m\ + C.

Второй интеграл можно выразить через первый следующим образом.

Замечая,

что

Ух2

+

т

dx

=

\

х2

+

т

dx=

т

Г

dx

, Г

л.-2 dx

У х 2 + т " ~

"' ] Ух2

+ т

' J

Ух2

+ т '

применим

ко

второму

интегралу

в правой

части

формулу

интегрирования

по

частям, полагая

xdx

х

,

х—и,

-

=

fix:;

Ух2

+

т

тогда получим

Ух"

+

mdx

=

m

Г

у

d x

т

+

г-Уг2

+

т—

\

y x 2

+

mdx,

У х2-\-

откуда

y X

2

+

mdx

= —

(хУ"х2-\-т

+

т

'

d*

2

(

J

Ух2

+

т

Используя

формулу

интегрирования

для

первого

интеграла,

получим

|

yx2

+

mdx

= - ^ - ( х У х 2

+

т

+

т\п

[х

+

Ух2

+

т])

+

С.

3. Вычисление

интегралов

вида

j

R

[х,

~\/~ ах2

+ bx+cj

dx

в

области,

где

ах2

+

Ъх +

с > 0 ,

сводится

к

вычислению

одного

коэффициентов a,

b и с. Для этого нужно лишь квадратичный трех­

член ах2 +

Ьх +

с преобразовать по методу дополнения до пол­

ного квадрата и сделать соответствующую подстановку.

Пример 5.

Вычислить

^

^ Х

Vx2

— 2x + 2

Имеем

х2

— 2х + 2 = (х — I ) 2 + Г.