Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

Знак абсолютной величины опущен, так как при рассматриваемых зна­ чениях ц и t выражения, стоящие под знаком логарифма, положительны.

Возвращаясь к первоначальной переменной х, будем иметь

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

6.1.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ

118

Для удобства записи и дальнейшего изложения точки а и b обозна­

Обычно разности xk+\ — xk обозначают через Axk и интеграль­ ную сумму ап записывают в компактном виде, используя общепри­ нятый знак 2

Стремление длин всех частичных промежутков Axk к нулю эк­ вивалентно стремлению к нулю наибольшей длины этих промежут-

119

KQB,. .Таким образом, по определению

тические возможности интегрального исчисления, в связи с чем понятие определенного интеграла обобщается на случаи Ь<^а и b = а.

Исходя из соображений теории интегрального исчисления и ее приложений, целесообразно ввести следующие определения:

если Ь < о , то

а

Установим геометрический смысл определенного интеграла. Пусть на промежутке [a, b ] задана неотрицательная н е п р е ­ р ы в н а я функция у = / (х) и пусть линия / (рис. 50) — график этой функции. Рассмотрим интегральную сумму

порожденную некоторым разбиением а = х 0 < х х < ; . . . <^хп = b промежутка [а, Ь] и некоторым выбором промежуточных точек Если через все точки xk провести вертикальные прямые, то, как видно из чертежа, криволинейная трапеция, ограниченная линией /, разобьется на п более мелких криволинейных трапеций. Из чертежа

за приближенное значение площади соответствующей частичной криволинейной трапеции. Таким образом, интегральная сумма

*S- о 1/(6*) А**

120

для функции / (х), соответствующая данному разбиению проме­ жутка [а, Ь ] и данному выбору точек Ь,к, является приближенным значением площади криволинейной трапеции, ограниченной гра­ фиком функции f (х), и представляет собой сумму площадей прямо­ угольников, порожденных рассматриваемым разбиением. Точное значение площади криволинейной трапеции равно пределу интег­ ральной суммы при безграничном измельчении промежутка [а, Ь], т. е. определенному интегралу от этой функции.

Для того чтобы дать геометрическую интерпретацию интегралу от любой непрерывной функции, принимающей на промежутке [а, Ь] не только положительные, но и отрицательные значения, до-

У

статочно, как мы уже это делали раньше (рис. 48), площадям, огра-' ничейным графиком функции, приписывать знак, а именно: поло­ жительными считать площади, расположенные над осью х, а от­ рицательными — под ней. Тогда геометрический смысл определен­ ного интеграла можно сформулировать следующим образом: опре­

6.2.УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Так как определенный интеграл является пределом последова­ тельности интегральных сумм, то очевидно, что его существование зависит от структуры рассматриваемой функции. В этой связи не­ обходимо установить условия, при которых существует указанный предел.

Определение. Функция f (х) называется, кусочно-непрерывной на данном промежутке, если на этом промежутке она ограничена и имеет не больше чем конечное число точек разрыва.

121