Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 14.07.2024

Просмотров: 120

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

непрерывна (там же, стр. 160), в силу чего Ах -> 0 при Ау 0 и,

пользуясь предыдущим равенством,

находим

i i . \ 1 •

А*

 

1

1

ду - о

Д(/

L I M

_ Д ^

Г (*)•

 

 

ДА--о ДА-'

 

Итак, дифференцируемость функции л: = ф (у) и формула (1.32) доказаны.

1.18. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Пусть у = arc sin х. Тогда х = sin у и в силу формулы (1.32) имеем

/

• w

1

1

1

1

 

 

(arc sin х)'—

=

• =

.

- =

г

.

 

 

 

(sin у)'

c o s У

± У1 — sin2 у

±

У1 — л.-2

Областью

изменения

функции

у = arc sin х является

интервал

'

~ -

1н а

котором cos г/!>0; следовательно, перед

квадрат­

ным корнем следует сохранить положительный знак; тогда полу­ чаем формулу

(arc sin *)' = - = ] = = - .

У I — х2

Аналогично можно получить

_1

(arc cos)' = ~^==r •

У 1-х

(1.34)

(1.35)

Если у = arc tg х, то х = tg у, и по формуле (1.32) находим

(arc tg х)' = —-— = cos2 У-

l+tg-y

 

(tgy)'

 

 

или

 

 

 

(arctgx)' = - L -

 

 

(1.36)

1 + X

 

 

 

Аналогично получается

 

 

 

(arcctg*)' = - — L

 

-

(1.37)

1 +

х-

 

Примеры.

 

 

 

1.

у = х3 arc sin-л:; у' — (х3) arc sin х + х3 (arc sin х)' —

 

 

= 3.t2 arc sin x + • У

х3

 

 

1 - х 2

 

 

 

*

 

2.

у = arc tg Ух.

Положим

у = arctg и,

и = ]/Зё. Тогда

 

У =

U =

{У X) =

• 7=-

 

 

1 + u2

1 + х

1 + х 2У х

21

1.19.ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Я

При решении различных физических и технических задач встречаются некоторые комбинации показательных функций е* и е-*.. Эти комбинации встречаются настолько часто, что оказалось рациональным принять их за новые функции и протабулировать

(составить для них таблицы).

Так появились

функции: г и п е р ­

б о л и ч е с к и й

с и н у с

(sh я), г и п е р б

о л и ч е с к и й

к о с и н у с (спя),

г и п е р б о л и ч е с к и й

т

а н г е н с (thjc)

 

 

Рис. 7

 

и г и п е р б о л и ч е с к и й

к о т а н г е н с (cth x), которые

определяются соотношениями:

 

 

shx= •

 

ch х = ех + е-

 

sh х

 

(1-38)

thx--

cth х--

ch x

c h *

sh*

 

 

Эти функции называются гиперболическими синусом, косину­ сом и т. д. потому, что между ними существуют соотношения, на­ поминающие соотношения между тригонометрическими функ­ циями. Так, например,

c h 2 * — s h 2 x = l ;

(1.39)

sh(*+#) = shx-ctrj/ + ch,x:-sh у,

(1-40)

ch(x + y) — chx-chy + sh*-shz/.

(1.41)

Эти соотношения читатель без труда докажет сам, пользуясь определениями (1.38). Свойства гиперболических функций хорошо видны из их графиков, представленных на рис. 7, а я б; эти свой­ ства не похожи на свойства тригонометрических функций.

22

Таблицу производных для гиперболических функций получаем, пользуясь определениями (1.38) и формулой (1.39):

(sh *)' = y

(е*—е-*)' =-L(ex

+ е~х) = ch х;

(ch*)' =±.(е?

+ е-*)' = - i -

(в*— е-*) = sh x;

/ I ,

(th x) =

(cthx)' =

c h 2 * — sh 2 *

1

c h 2 *

c h 2 *

sh2 * — ch2 *

1

sh2 *

sh2 x

Эти формулы (кроме второй) совпадают с соответствующими формулами для тригонометрических функций.

Примеры.

 

 

 

 

 

 

 

1.

y — ^/lcchx;

у' =

( V * )

ch * - ( - ? / *

(ch * ) ' =

 

 

 

 

1

 

з

-

 

 

 

 

З1

3 / * 2

ch * +

у х

- sh *.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

2.

у = (th * ) 3 . Положим

у =

и3, и =

th *.

Тогда

 

4/' =

Зи2 - и'

= 3 (th я)2 - (th *)'

= 3 (th * ) 2

 

 

 

 

 

 

 

 

c h 2 *

1.20.ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Пусть функция у = f (х) дифференцируема на некотором про­ межутке. Тогда производная /' (х) этой функции будет новой функ­ цией от х, заданной на этом промежутке, и может в свою очередь

иметь

производную.

Эту производную

называют

п р о и з в о д ­

н о й в т о р о г о

п о р я д к а ,

или

в т о р о й

п р о и з в о д ­

н о й

от функции у

— f (х) и обозначают одним из символов: у " ,

Производную от второй производной называют третьей произ­

водной от функции

у = f (х) и

обозначают у " , f"

(х), г/(3), /( 3 ) (х).

Аналогично определяются производные четвертого, пятого и старших порядков. Производная га-го порядка обозначается од­

ним из символов: у {

п

\ fn)

(х).

Иногда,

указывая

переменную, по

которой берется производная, пишут у"хх,

у х х х

и т. д.

 

 

 

 

Пример

1. у

= 4*3

+

2* —

1,

у'

= .12*2

+ 2;

у" =

24*.

у'"

=

24;

уМ = у& = . . . = о.

 

_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вообще для многочлена n-й степени все производные, начиная с (л +

1)-го

порядка, равны

нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

_

„

ах

 

i .

 

ах

I /

2 ах

 

^

i „ \

п

ах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример

2. у

= е ;

у =

ае

;

у

= а е

и вообще

ууп> =

а е .

 

23

 

Дифференциал функции y = f(x),

где

х

— независимая

пере­

менная,, определяется формулой dy =

/'

(х)

dx,

где

dx

— Ах —

произвольное приращение

аргумента

х.

Зафиксируем

dx;

тогда

dy

будет функцией от х. Дифференциал от этой функции называют

д и ф ф е р е н ц и а л о м

 

в т о р о г о

п о р я д к а ,

или

в т о ­

р ы м д и ф ф е р е н ц и а л о м

функции

у

=

f (х) и

обозначают

d2y

или

d2f (х). Поскольку

dx зафиксирован

(постоянен),

то

 

 

d2y

= d (dy) = d If

(x) dx]

=

[/'

(*) dx-}'dx = f" (x)

dx2.

 

Дифференциал от d2y

называют

т р е т ь и м

 

д и ф ' ф е р е н -

ц и а л о м

функции

и

обозначают

одним из символов: d3y или

d3f (х). Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dhj =

d

(d2y) = d

[f

(x) dx2}

=

[/"

(x) dx2]'

dx

= f

(x)

dx3.

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично определяются дифференциалы четвертого, пятого

порядков и т. д. Вообще дифференциалов

/г-го порядка функции

у — f (х)

называется

величина,

которая

обозначается

и

опреде­

ляется в соответствии с равенством dny

=

d {dn~~ly).

 

 

 

 

Пользуясь методом математической индукции, легко доказать,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dny

= fn)

[x)dxn.

 

 

 

 

 

 

(1.42)

Итак, дифференциал n-го порядка функции равен произведе­ нию п-й производной этой функции на п-ю степень дифференциала

независимой переменной.

 

Если имеется сложная функция у = / (и),

и = ср (х), то

dx = f'(u)du,

(1.43)

но теперь уже /' (и) и da = ср' (д:) dx являются функциями от х. Поэтому при отыскании повторных дифференциалов здесь нельзя выносить du за знак производной, а надо дифференцировать (1.43) как произведение. Формулы для дифференциалов высших поряд­ ков сложной функции отличаются от формул, полученных выше, и дифференциалы второго и высших порядков свойством инвари­ антности по отношению к аргументу уже не обладают.

Из.формулы (1.42) следует

/ 1 П ) ( Х ) 1 = = Ц -

( Ь 4 4 )

Таким образом, производная п-то порядка функции равна от­ ношению n-го дифференциала функции к п-й степени дифферен­

циала независимой

переменной.

>

Выражение

часто применяют для

обозначения производ­

ной n-го порядка от функции у по переменной х.

24

1.21.ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ И КРИВЫХ

Пусть заданы две функции х и у одной и той же независимой переменной /

* = ф ( 0 , # = W

(1-45)

Пусть в рассматриваемой области изменения переменной t пер­ вая из этих функций возрастает (убывает). Тогда эта функция допускает однозначную обратную функцию t = g (х); подставив ее во второе равенство (1.45), получим

 

 

 

 

 

 

 

 

y = -ty[g(x)\ =

f(x).

 

(1.46)

Таким

образом,

в

результате исключения переменной t из

двух

равенств

(1.45)

мы пришли к функциональной

зависимости

переменной

у

 

от

переменной

 

х.

 

 

 

Итак,

задание двух

равенств

 

 

 

(1.45)

равносильно

 

заданию

 

 

 

функциональной

зависимости

у

 

 

 

от х. Это же видно из самих

 

 

 

равенств

(1.45);

действительно,

 

 

 

для

каждого

 

значения

t

(из

 

 

 

упомянутой

выше области)

из

 

 

 

системы (1.45)

находится

пара

 

 

 

значений

х

и у,

которые и при­

 

 

 

нимаются

 

 

соответствующими

 

Рис. 8

 

друг

другу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание функциональной зависимости между переменными х

иг/с помощью двух равенств (1.45) называется

п а р а м е т р и ч е ­

с к и м с п о с о б о м

задания этой функциональной

зависимости.

Независимая

переменная

t называется

п а р а м е т р о м .

Графиком

функциональной

зависимости

(1.46) или .(1.45) яв­

ляется в декартовой системе координат хОу некоторая линия I .

Равенства

(1.45)

называются

 

п а р а м е т р и ч е с к и м и урав­

нениями этой линии. Таким образом, параметрические уравнения

линии

на плоскости

это два равенства, выражающие координаты

х и у

произвольной

точки этой линии через произвольно выбран­

ную вспомогательную независимую переменную t (параметр). Ли­ нию / с помощью ее параметрических уравнений (1.45) можно при­ ближенно построить по точкам. Для этого следует в области изме­ нения параметра t выбрать несколько его значений tlt t2, . . . , tn и для каждого значения параметра вычислить соответствующую пару значений х и у; в результате построить на плоскости в системе

координат

хОу точки (х1г уг)

(х2, у2), . . . , (хп,

уп) и провести

через них

плавную кривую.

Эта кривая и будет (приближенно)

линией I (рис. 8). Исключив

из уравнений (1.45)

параметр t, при­

дем к уравнению линии / в обычной форме (1.46).

 

25

Смотрите также файлы