Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 14.07.2024

Просмотров: 138

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Теперь рассмотрим метод интегрирования по частям.

 

Теорема

2.

Если

в

промежутке

 

(а,

Ь) функции

и (х)

и v (х)

непрерывны

и

имеют

непрерывные

производные, то

 

 

 

ь

 

 

 

 

 

ь

ь

 

 

 

 

 

 

j " и (х) v' (х) dx = и (х) v (х) j — j v (х) и'' (х) dx.

(6.17)

 

 

а

 

 

 

 

 

а

а

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из тождества

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(uv)'

= u'v + uv'

 

 

 

имеем

 

 

 

 

 

uv' — (uv)' — vu',

 

 

 

поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

ь

 

 

ь

 

 

ь .

 

ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j " uv'dx =

J" [(uv)' — vu'] dx = \ (uv)' dx—\

vu'dx,

 

 

a

 

 

 

a

 

 

a

 

a

 

 

откуда, замечая,

что для функции

(uv)'

первообразной

является

функция

uv

и,

следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ь

 

 

.ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$ (uv)' dx=

 

uv I

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

 

 

 

получаем

требуемое

равенство.

 

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е .

Часто формулу

(6.17)

пишут в виде,

напоми­

нающем формулу (4.13) для неопределенных

интегралов:

 

 

 

 

 

 

 

6

ь

 

ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\udv

= uv\—\vdu.

 

 

 

(6.18)

 

 

 

 

 

 

а

а

 

а

 

 

 

 

В этом случае следует иметь в виду, что в обоих определенных интегралах интегрирование производится по переменной х, а не v и и, как это формально следует из формы записи интегралов.

 

 

 

 

 

з

 

 

 

 

 

Пример

3.

Вычислить

Jx

In xdx.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

dx.

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Полагаем

In x =

и,

 

xd x =

dv;

тогда

du = —'— ,

v = — x2, следо-

вательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

 

1

 

 

3

 

j

3

g

g

j" x In xdx =

x2

In x I

 

^- Г xdx =

In 3 — 2 In 2 — — j - .

2

 

 

 

 

2

^

2

 

 

4

 

 

 

 

 

л

 

 

 

 

 

Пример

4.

Вычислить

J ex sin x

dx.

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

Полагаем

sin x =

u,

etdx — dv,

тогда

 

 

 

 

 

 

 

du =

cos xdx, v =

e*.

 

Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Я

 

 

 

 

Я

Я '

я

 

 

j e*sin xdx =

ex

sin л; |

—J e* cos xdx — —J e* cos xdx.

 

о

 

 

 

 

o o

 

о

 

136

К полученному

интегралу снова применяем формулу интегрирования

по частям,

полагая

cos х = и, exdx

=

dv. Получаем

я

 

я

я

я

j ех

sin xdx =

— е* cos х |

— [ ех

sin xdx = е я + 1 — [" е* sin xdx,

о

 

o

b

 

b

откуда

о

6.6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

На практике часто приходится иметь дело с интегралами от функций, первообразные которых не выражаются в конечном виде, а также от функций, заданных не аналитическим (формулами), а иными способами, например табличным или графическим. Во всех таких случаях формула Ньютона — Лейбница не может быть при­ менена и обычно определенный интеграл вычисляется при помощи приближенных методов. 4

В связи с развитием вычислительных машин приближенные ме­ тоды вычисления определенных интегралов получили широкое распространение. Более того, им дается предпочтение даже в тех случаях, когда функция имеет конечную первообразную, но она настолько громоздка, что вычисление интеграла по формуле Нью­ тона — Лейбница требует очень большой вычислительной работы.

Наиболее универсальными методами приближенных вычисле­ ний определенных интегралов являются методы численного ин­ тегрирования, которые особенно удобны при использовании - вы­ числительных машин. Формулы численного,интегрирования дают приближенные значения определенного интеграла по известным

значениям функции в некоторых точках промежутка

интегрирова­

ния. В основе вывода этих формул лежит замена

рассматриваемой

функции ее приближенным

выражением.

 

 

 

Рассмотрим

простейшие

формулы

численного

интегрирования.

Пусть требуется

 

b

dx.

Разобьем

промежуток

вычислить J f (х)

 

 

 

а

 

 

 

 

интегрирования

[а,

Ь] на

и равных частей

при

помощи точек

a = * o < * i < * 2 < . . . <xn-l<xn

= b

 

и обозначим значения функции / (х) в точках деления xk через yk

yk = f(4) (ft = 0, 1, 2, . . . , п).

• Величина

равная длине частичных промежутков [xk, хк+\\, называется ш а - г о м интегрирования.

137

Формулы прямоугольников

Формулы прямоугольников получаются, если в каждом частич­ ном промежутке [хк, Xk+i] принять функцию f (х) постоянной и равной ее значению либо на левом конце промежутка — ук, либо на правом конце —Ук .,.у Так как

$f(x)dx=

ff(x)dx +

ff(x)dx+

. . . + ]' f(x)dx,

то в первом случае получим

 

 

 

ь

 

 

 

^f{x)dx^h[y0

+ yl +

. • • +Уп_{)

Рис. 60

или

 

 

lf{x)dx:

[Ух+У\-

(6.19)

во втором случае

 

 

ь

 

(6.20)

$f(x)dx;

'(У1 + У2-

С геометрической точки зрения (рис. 60) при вычислении ин­ теграла по формулам прямоугольников (6.19) и (6.20) график функ­ ции / (х) заменяется приближенно одной из ступенчатых ломаных, и величина площади криволинейной трапеции, ограниченной гра­ фиком функции f (х), приближенно принимается равной площади, ограниченной этой ломаной, т. е. сумме площадей прямоугольни­ ков. Погрешность формул прямоугольников стремится к нулю при безграничном увеличении числа точек деления п.

Заметим без доказательства, что абсолютная величина ошибки

Rпри вычислении интеграла по.формулам прямоугольников (6.19)

и(6.20) может быть выражена следующим образом:

\R\ = - (Ь-.ау

I f

© I .

(6.21)

где I — некоторая точка на промежутке

[а,

Ь].

138

Если производная функции / (х) на промежутке [а, Ь] ограни­

чена

\Г(х)\<М,

т с из формулы (6.21) получается следующая оценка величины R

 

Формула трапеций

 

 

Эта формула получается, если, как и прежде, промежуток

ин­

тегрирования

[а, Ь] разбить на п равных частей с шагом h —b~a

>

 

 

 

п

но на каждом

частичном промежутке

х й + 1 ] подынтегральную

У

функцию у — f {х) заменить линейной, совпадающей с ней на кон­ цах, т. е. применить линейную интерполяцию

 

 

y=yk+

У к ^ 7 У к

(*-**)•

 

 

 

Так как в этом

случае

 

 

 

 

 

xk+i

xk+i

 

 

 

 

 

J

f(x)dx

Ук+Щг^-{х-хк)

 

dx = y

* \

y ^ h,

xk

xk

 

 

 

 

 

 

TO

 

 

 

 

 

 

 

 

f{x)dx^h(^±J^

 

+ ^±J^

+

Уп-l

+

Уa

 

 

 

 

 

139

Смотрите также файлы