Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 14.07.2024
Просмотров: 135
Скачиваний: 1
или |
|
|
|
I |
f (х) dx Ь — а(Уо + Уп |
+ У1 + У2 + |
(6.22) |
|
|
|
Вычисление интеграла по формуле (6.22) с геометрической точки зрения (рис. 61) означает замену графика функции вписанной ло маной и, следовательно, замену величины площади криволиней ной трапеции, ограниченной ее графиком, суммой площадей пря
моугольных трапеций, |
ограниченных |
этой ломаной. |
|
||
Доказывается, что ошибка R при вычислении интеграла по фор |
|||||
муле трапеций (6.22) |
выражается следующим образом: |
|
|||
|
|
12/г2 |
•га), |
(6.23) |
|
где 5 — некоторая точка на промежутке [а, |
Ь]. |
|
|||
Если вторая производная функции / (х) |
на промежутке [а, |
Ъ ] |
|||
ограничена |
| / " ( * ) < М , |
|
|
||
|
|
|
|||
то из формулы (6.23) |
получается следующая оценка величины |
R |
|||
|
< |
( 6 - а ) 3 • м. |
|
|
|
|
|
12я2 |
|
|
|
Формула парабол |
(формула Симпсона) |
|
|||
Эта формула получается, если подынтегральную функцию ин |
|||||
терполировать многочленами второй |
степени |
|
|||
|
у = Ах2 |
+ Вх + С, |
(6.24) |
||
т. е. параболами с вертикальной осью симметрии. |
|
||||
Покажем предварительно, что через любые три точки (х1г |
ух) |
||||
(*2> Уг), (хз> Уз) с различными |
абсциссами всегда можно' провести |
||||
параболу (6.24) и при том только одну. Для этого достаточно пока
зать, что определитель, системы линейных |
уравнений |
||
( Ax\ + Bxx |
+ C = |
yv |
|
Ах22 + Вх2 |
+ |
С^у2, |
|
Ах1 + Вх3 |
+ |
С^уя, |
|
определяющей коэффициенты А, В, С квадратичного трехчлена (6.24), отличен от нуля. Вычислим определитель системы
А =
х \ |
хг |
140
Вычитая элементы первой строки из элементов второй и третьей строк, получим
|
|
|
|
1 |
•^2 |
^ \ |
"^2 |
^1 |
^ ~ (Х2 ^ l ) (^3 ^ l ) X |
х \ |
х \ |
хг |
х\ |
^ |
|
|
хх |
1 |
|
X x% + *i 1 О = ( х 2 — X i ) ( х 3 — х а ) ( х 2 — х 3 ) .
x 3 - f xx 1 О
|
|
|
|
X 2/(W хяк+г |
хп~ь |
||
|
|
|
Рис. |
62 |
|
|
|
Так как абсциссы точек хг, |
х 2 , х3 различны, то Д Ф 0. |
||||||
Разобьем |
теперь |
промежуток |
[а, |
Ь] на четное число равных |
|||
частей п = 2 т и представим |
искомый |
интеграл |
в виде суммы |
||||
Ь |
> \ А'з |
*4 |
|
|
*2m |
|
|
Jf (X)dx= J f(x)dx+ J f(x)dAT+ . . . + / J |
/(x)dx. |
||||||
a |
*o |
^2 |
|
|
A '2m—2 |
|
|
На каждом сдвоенном промежутке |
jx,A , x 2 f t + 2 ] |
длины |
|||||
•^гй+г х2к~2Ь
заменим функцию / (х) квадратичным трехчленом вида (6.24), сов
падающим с нею в точках х^, x 2 k + v % + 2 , |
[геометрически (рис. 62) |
||
параболой, совпадающей с |
графиком |
функции |
f (х) в точках |
(*»' У»)' {x2k+v Угь+i)* [x2k+2> |
#2*+?)]» и |
вычислим |
приближенное |
значение интеграла на этом промежутке.
141
Учитывая, |
что |
x2k |
+ |
x2k+2 = |
2л'2 / ,+ 1 , |
последовательно |
нахо |
||||||
дим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2k+2 |
|
|
х2к+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
(X'fft + 2 |
*2fc) |
+ |
^ [X2k + 2 |
|
X2k) |
— |
|
|
||
T3 i 2 |
A |
(4k+2 |
+ X2kX2k-V2 |
|
+ Xlk) |
+ 35 (% + X2k+2) + |
6C] |
|
|||||
= T К A |
+2 |
+ |
+ |
C ) + |
( |
+ |
+ C) |
+ A |
(** |
+ X2k + 2f |
+ |
||
+ |
2B [х2к + x2k+2) |
|
+ 4C] = |
- | - ( y 2 f t + 2 |
+ |
#2 f t |
+ |
ty2fc+1); |
|
||||
суммируя теперь эти значения интегралов по /г (/г = |
0, 1, . . . , т), |
||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jf(x)dA: = |
—(г/0 |
+ |
г/2 + |
4//1 + г/2 + |
у4 |
+ |
4г/з+ |
• • • |
|
||||
ао
•• • +У2,п-2 + У2,п — 4У2,п-1)-
/
Таким образом, формула Симпсона имеет вид:
ь
|
[ f ( Х ) А Х = Ь~1ЬГ |
№° + У ^ |
+ 2 |
(^2 + |
V4 И" • • • + У2т-2) |
+ |
|
||
|
|
+ Цу1+у3+ |
|
. . . |
+ i r a |
m _ I ) ] . |
(6.25) |
||
|
Исследования показали, что ошибка R при вычислении интег |
||||||||
рала по формуле Симпсона (6.25) выражается следующим |
образом: |
||||||||
|
|
R = |
( 6 - " ) 5 ;<ГУ) ( § ) |
|
(6.26) |
||||
где |
£ — некоторая |
точка на |
промежутке |
[а, |
Ь]. |
|
|
||
|
Если четвертая производная функции f |
(х) |
на промежутке [а, |
Ъ ] |
|||||
ограничена |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| f ( I V ) * | < M > |
|
|
|
|
|||
то |
из формулы (6.26) получается следующая оценка величины |
R: |
|||||||
|
|
' |
' |
180л* |
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е 1. Сравнивая выражения (6.21), (6.23) и (6.26), определяющие погрешности вычисления интегралов по формулам соответственно прямоугольников, трапеций и парабол, замечаем, что в первом случае число делений п промежутка [а, Ь] входит
142
в знаменателе в первой степени, во втором — во второй степени, а в третьем — в четвертой степени. Следовательно, при п -± со по грешность вычисления интеграла по формулам прямоугольников является бесконечно малой первого порядка, по формуле трапе ций — бесконечно малой второго порядка, а по формуле парабол — бесконечно малой четвертого порядка.
З а м е ч а н и е 2. Приведенные оценки погрешности при чис ленном интегрировании имеют в основном теоретическое значение. На практике они применяются редко.
Обычно оценка точности вычисления определенного |
интеграла |
производится, исходя из следующих соображений. |
Прибли |
женная величина интеграла, вычисляемая по какой |
либо фор |
муле численного интегрирования, рассматривается как функция /„
целого |
числа п — количества |
точек деления промежутка интегри |
рования, причем так как |
|
|
|
П т /„ = /, |
|
|
я-* со |
|
где / |
-т- точное значение интеграла, то при достаточно больших |
|
пит |
абсолютное значение |
разности /„ — 1т становится сколь |
угодно малым. Исходя из этого вычисляют последовательно при
ближения 10, / 1 |
( / 2 , . . . и сравнивают каждое новое приближение |
||
с предыдущим, |
определяя модуль их разности: |"/2 — / 3 1 , \13 — /4|. |
||
'Вычисления продолжают до такого значения п при котором |
|||
|
\1 |
— I |
1<е, ' |
|
| |
п |
п + 1 | ^ ' |
где е — заданная точность вычисления интеграла. При получении такого результата считают, что /„ и / л + 1 отличаются от точного значения интеграла / меньше, чем на &, т. е., что требуемая точность достигнута.
Такой прием особенно часто применяется при работе на совре менных вычислительных машинах, когда затраты труда на вычис ление значений подынтегральной функции оказываются не сущест венными.
6.7.НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Вначале этой главы было дано определение определенного ин теграла. При этом существенными условиями являлись: конечность промежутка интегрирования и ограниченность функции на этом промежутке. Теорема существования (§ 6.2) — гарантирует в этих условиях существование интеграла от всякой кусочно-непрерывной функции. Однако, исходя из теоретических и практических сообра жений, целесообразно обобщить понятие определенного интеграла на случаи, когда указанные ограничения не выполняются. Такие интегралы, в противоположность рассмотренным (собственным) интегралам, называются несобственными. Рассматриваются два основных типа несобственных интегралов: интегралы от непрерыв-
143
ных функций по бесконечному промежутку и интегралы от неогра ниченных функций по конечному промежутку. Другие случаи не собственных интегралов являются комбинациями указанных.
Интегралы от непрерывных функций по бесконечному промежутку
Пусть функция f [х) определена |
и непрерывна |
в |
промежутке |
||||||||||||
[а, со) . По теореме существования |
при |
любом конечном А ^>> а |
|||||||||||||
|
А |
|
|
который |
|
является |
функцией |
верхнего |
пре- |
||||||
существует Г / (л;) dx, |
|
||||||||||||||
дела |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Несобственным |
интегралом, |
от |
функции |
f(x) |
по |
||||||||||
промежутку |
[а, со), обозначаемым |
символов |
со |
|
dx, |
называется |
|||||||||
[ f(x) |
|||||||||||||||
предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
lim |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
j |
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
А-'со |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
по определению |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
со |
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ f (х) dx = lim J f (x) dx. |
|
|
|
|
(6,27) |
||||||
|
|
|
|
а |
|
|
А—со |
a |
|
|
|
|
|
|
|
Несобственный |
интеграл |
(6.27) называется |
с х о д я щ и м с я , |
||||||||||||
если указанный предел конечен, |
и р а с х о д я щ и м с я , |
если он |
|||||||||||||
равен бесконечности или не существует. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Факт сходимости |
интеграла |
записывается в |
виде |
неравенства |
|||||||||||
|
|
|
|
со |
|
f(x)dx<co. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
j " |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично определяется |
несобственный |
интеграл |
от |
функции |
|||||||||||
f (х) по промежутку |
(— с о , а ] : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
а |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
f(x)dx= |
|
|
lim |
$f(x)dx. |
- |
|
|
(6.28) |
|||
|
|
|
—со |
|
А •» —со А |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Наконец, |
несобственный |
интеграл от |
функции / (х) по проме |
||||||||||||
жутку |
( — с о , |
со) определяется |
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
со |
|
|
а |
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
f(x)dx= |
J |
f (x) dx + jf |
(x) dx, |
|
|
(6.29) |
||||||
|
|
—со |
|
—со |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
где a — произвольное |
число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Интеграл в левой части считается сходящимся, если |
сходятся |
||||||||||||||
оба интеграла в правой части; если хотя бы один |
из |
этих |
интегра- |
||||||||||||
лов расходится, то расходится |
и интеграл J |
оо |
|
|
|
|
|
||||||||
/ (х) dx. Можно по- |
|||||||||||||||
—со
казать, что сходимость интеграла и его значение не зависят от вы бора числа а.
144