Файл: Итенберг С.И. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной учеб. пособие.pdf

J f(x)dx

= \\m j f(x)dx

= \im[F(A)—F{d)]

= F(oo)—F(a),

(6.30)

а

Л-»оо а

А -*со

Пример

1.

Рис. 63

ОО-

ОО

Г dx

х2

• arc tgx

,.

,

- ,

,

.»л

л

л

1 +

=

lim arc tg х — arc tg 1 =

= —

l

2

4

'4

Интеграл

сходится

и

равен

Пример

2.

00

ОО

ОО

J xe~xdx=

—хе~~х

|

4-J

e~~xdx =

—\imxe~

=

1 — lim хе х .

о

о

о

х -*°°

Находим,

применяя правило

Лопиталя,

lim хе х

=

lim —

= lim — =

0.

Л'-.ОО

Х-ЮО

е*

Х - О О

е х

Следовательно,

данный

интеграл

сходится

и равен

1.

Г

dx

Пример

3.

Вычислить

\

-

.

J

X*

6 Заказ № 1181

145

Следует

рассмотреть

два случая: ft

Ф 1, ft = 1;

при

ft

ф

1

dx

со

при ft <;

1,

lim

1

xk

l—kx' .к—1

xк—1

1 — ft \л--со

при ft •>

1;

1

при ft =

1

I

= In X

= со;

со

следовательно, Г

— сходится при ft >

1 и расходится при ft < 1.

J

**

со

называется

Определение. Несобственный интеграл J | / (х) dx

а

со

(х) | dx. Если

абсолютно сходящимся, если сходится интеграл J | /

а

со

со

интеграл

[ / (х) dx

сходится,

a j

| f (х) | dx расходится,

то

он

а

. а

сходящимся.

называется

неабсолютно,

или условно,

Теорема

1. (Признак

сходимости.)

Несобственный

интеграл

оо

сходится,

если

он

абсолютно

сходится.

Эту

теорему

| / (х) dx

а

приводим без доказательства.

З а м е ч а н и е .

Из

расходимости

а

| / (х)

\

dx

не

интеграла j

а

следует

расходимость

оо

/ (х)

dx.

J

а

Для

установления

абсолютной

сходимости интеграла

(и, сле­

торый определяется

следующей

теоремой.

Теорема

2. Если

на промежутке

[а,

со) функции

ц> (х)

и f

(х)

непрерывны,

неотрицательны

ср (х)!>0,

/ (х)^-0)

и

ср (х)

(х),

оо

f (х) dx следует

оо

ср (х) dx,

а

из

то из сходимости J

сходимость J

а

а

оо

оо

со

<• со

(интеграл

сходится),

либо

со

яр (х) dx

= со

(ин-

f яр (х) dx

[

а

о

теграл расходится).

Обратимся теперь к доказатель- У

ству теоремы. Из условия

ср (х)

<!/ (х)

по свойству 6 определенных интегра­

лов

(§ 6.3)

имеем

при

любом

А

f

Ф (х) dx

< J

f (х) dx.

(*)

Рис.

64

1.

Пусть

J f (х) dx

сходится. Следовательно, при

А^а

функ-

а

ция

F (А)

=

А

f (х) dx

ограничена,

а

тогда

из

неравенства

(*)

j

а

заключаем,

что ограничена и функция

Ф (А)

=

А

ф (х) dx„

Итак,

J

оо

а

сходится.

| Ф (х) dx

а

со

Пусть

при А

со функ-

[ ф (х) dx расходится. Следовательно,

а

Л

ция

Ф (Л)

=

ф (х) dx неограничена,

а тогда

из

неравенства

(*)

J

а

заключаем,

что

неограничена и функция F (Л) =

со

т. е.

J / (х) dx,

а

со

расходится.

J / (х) dx

а

Этой теореме можно дать наглядную геометрическую интерпре­

тацию. Пусть линии 1Х и 12

изображают графики функций у =

ф (х)

и У = f (х)

(рис

64); так как ф ( x ) < f (х), то линия 1Х

лежит

ниже

линии 12. Очевидно, если линия 12 ограничивает конечную

площадь,

то линия

1Х и подавно

ограничивает

конечную площадь.

С другой

6*

147

со

от неотрицательной функции

/ (х)

для

сравнения часто

J" / (х) dx

а

оо

используют

интеграл от степенной функции

Г

, который, как

J

*f e

i

было установлено (пример 3), сходится

при

k~^> 1 и расходится

при & < 1 .

со

Пример

4.

Исследовать

на

сходимость

^

^ Х

о - - " + 3

т

1 ^ 1

„

Так как 5

<;

, то данный

интеграл сходится.

X

со

Пример 5.

Исследовать на

сходимость

I

s i

n x

J

1 +

х 2

Так как

1

I sinx

1

1

U

+

1 + д;2

А-

Интегралы от

неограниченных^функций

Пусть функция / (х) непрерывна на промежутке

la, Ь) и в точке

Ъ неограничена,

т. е. в этой точке имеет бесконечный

разрыв:

lim f {х) — +

оо

или

lim f (х) =

— со .

х-* Ь—0

х-*Ь—О

Определение.

Несобственным

интегралом,

от

функции

/ (х) на

промеоюутке

[а,

Ь),

непрерывной

при а^х<^Ь

и

неограниченной

А

в точке Ь, называется

предел

lim

\ f (х) dx,

обозначаемый

симво-

Ь

A-fb-Oa

lf{x)dx.

лом

а

по определению

Таким образом,

ь

.

А

I

J 7 ( * ) d x =

Пгп

lf(x)dx.

(6.31)

a

A -»b—0

a

Несобственный

интеграл

(6.31)

называется

с х о д я щ и м с я ,

если

указанный

предел конечен,

и

р а с х о д я щ и м с я , если

он не существует

или равен

бесконечности.

ь

ь

lf{x)dx=

lim J / О ) dx.

(6.32)

ь

с

ь

(6.33)

•

Sf(x)dx

=

$f(x)dx+Sf{x)dx,

где с — произвольная

точка

внутри

промежутка (а,

Ь) ( а < с < 6 ) .

ь

Интеграл j / (х) dx

считается

сходящимся,

если

сходятся оба

а

интеграла

в

правой

несобственных

части (6.33). В этом случае выбор

точки с не имеет значения. Наконец,

если

на

промежутке

(а,

Ь)

функ­

ция / (х) непрерывна, за исключением

конечного

числа

точек

а •< сх <С

- < с 2 <

. . . <; сп^Ь

бесконечного

раз­

рыва,

то несобственный

интеграл от

нее определяется

посредством

равен­

Рис.

65

ства

]f{x)dx

= \f{x)dx

+

lf{x)dx+

. . . +

]f{x)dx.

(6.34)

Несобственный

интеграл ]f{x)dx

считается

сходящимся, если

ь

от неотри-

Геометрически несобственный интеграл ^f{x)dx

а