Файл: Доценко С.В. Теоретические основы измерения физических полей океана.pdf

получается из трехмерной

аппаратной функции прибора интегриро­

ванием по горизонтальным

координатам .

Найдем спектр

выходного

сигнала

прибора.

Учитывая, что

спектр одномерного

не зависящего

от времени

поля

X (/?)

X («;

co) =

(2ic)3 S (а2 )

о (а3 )

3 (ш)

Х(а),

где

оо

— со

приведем формулу (2.6) к виду

со

—оо

Здесь одномерная функция

движения

С, (а;

ю) =

С(а, 0, 0; со),

а одномерная (с точки зрения

числа

измерений

волнового вектора)

спектральная характеристика

прибора

/ / , (а;

со) =

/7 (а; 0,

0; со).

С! (а;

ю)=2тс&

( а г > о + ш ) ,

причем

и о > 0 при опускании

прибора

и и 0 < 0

при его подъеме. Под­

ставляя

эту функцию

в в ы р а ж е н и е для У (со) и интегрируя, получим,

что связь спектра распределения поля Хпз^(а),

найденного

на ос­

новании

измерения,

со спектром истинного

распределения

поля

X (а) имеет вид

*)

^0)Х(а),

(3.3)

ш=аг»0 ,

(3.4)

П , ) = ^ , 1 3 М ( ^ ) .

(3.5)

Я ,

(a;

o.v0) = Hu(a)

На(Мц)

зависит от

свойства

пространственного

осреднения его

датчика,

определяемого характеристикой Н±а(а),

и

от

частотной

характери ­

стики инерционной части

прибора Я ш

(со).

Если датчик

точечный,

а прибор

инерционный,

то

# i a ( a ) = l

и

спектральная

характери ­

стика прибора определяется

только инерционностью. В этом случае

i - w w )

-

( 3 - 6 >

рования. Если ж е прибор безынерционен и имеет точечный

датчик,

то

Hi (a; av0)

= \

и измеренный спектр поля совпадает с истинным.

Исследуем вид пространственной

спектральной характеристики

прибора в том случае, когда прибор инерционен

и имеет неточечный

датчик. Д л я этого более подробно

рассмотрим

одномерные

про­

странственные

аппаратные

функции

датчиков

Hi (р) и их

спектры

Hi* (ос).

Одномерные

аппаратные

функции,

согласно

(3.2), даются

выра ­

жением

Н\

(P) =

j" Н ? (P.

Р 2 , Р з ) 4 > 2 % ,

где р — вертикальная

координата, а

р% и

рз — горизонтальные. Их

спектры

со

Я ь (а) =

Я . (а, 0, 0 ) =

j Я ,

(р)

dp.

(3.7)

Я ,

( Р )

=

О

при ]р |

(3.8)

2

а одномерная спектральная характеристика

# I e ( * )

=

S a ( - ^ - ) .

(3.9)

А п п а р а т н а я функция

изображена на рис. 12

(кривая 1), а ее

спектральная характеристика — на рис. 13 (кривая

1).

2. Если объем осреднения по­

ля представляет собой цилиндр и

ось датчика вертикальна, то его

одномерная аппаратная

функция

совпадает с выражением

(3.8)

для

датчика, имеющего

форму

па-

1в

аа

Рис. 12. Одномерные аппаратные функции

Рис. 13. Одномерные

спектральные

датчиков.

характеристики

датчиков.

/ — параллелепипеда,

•цилиндра, 3 — шара .

/ — параллелепипеда,

2 — ц и л и н д р а ,

3 —

шара.

раллелепипеда .

Следовательно,

и спектральная

характеристика

датчика при такой ориентации дается выражением

(3.9). Если

ци­

я 1 в ( « 0 = л , №

~т

и изображен на рис. 13

(кривая 2).

Н а рисунке видно, что при ра­

венстве размеров cii и а2

пространственная спектральная характе ­

ристика датчика шире, если датчик

горизонтален.

ная функция

дается

формулой

(2.15),

то одномерная аппаратная

функция имеет вид:

3

при

2р

< 1 .

Я , ( Р )

=

О

при

(3.11)

> 1 .

График этой функции представлен на рис. 12

(кривая 3). Соот­

ветствующая

ей пространственная спектральная

характеристика

с

)

И

( ^

) - c o s

изображена

на рис. 13

(кривая

5). Она оказывается еще более ши­

Вид характеристик для параллелепипеда, цилиндра и ш а р а

одина­

ков: все они начинаются

со значения

# | П ( 0 ) =

1

и с

ростом

вели­

чины х = сш осциллируют

с уменьшением

амплитуды.

Однако сте­

пень спадания их при больших х различна:

для

параллелепипеда

это х~1,

для горизонтального

цилиндра хг*1"-, а для ш а р а

х~2.

В об­

щем случае характер функции Hia(a)

определяется

утверждением

[7]: если в интервале (—то, оо) функция # i (р)

при

| р | - * - о о

абсо­

лютно

интегрируема, то интеграл Hia(cc)

существует

и

стремится

к нулю

при | а | - » - о о . Условие абсолютной

интегрируемости

# i (р)

всегда

выполняется, так как аппаратная функция Hi (р) ограничена

и либо

отлична от нуля в конечных

пределах

(если

датчик

имеет

ограниченные

размеры осреднения),

либо

существует

в

бесконеч­

ных пределах, но вне некоторой конечной области

быстро

стремится

к нулю

(см. гл. V I I ) . Таким

образом,

одномерная

спектральная ха­

рактеристика датчика может иметь вид либо монотонно

спадаю ­

щий, либо спадающий с осцилляциями, как на рис. 13.

Трехмерная

аппаратная

функция

датчика

Я р ( р )

содержит ис­

черпывающую

информацию о его спектральных

свойствах. З н а я ее,

можно

получить двухмерную

и одномерную

аппаратные

функции,

а, следовательно, и спектральные характеристики этого числа

изме­

рений. Обратное утверждение неверно: знание одномерных

аппа­

ратных функций не всегда дает возможность

судить о виде

трехмер-

Если

полагать

ро = 0, то момент называется

начальным,

если ж е

выбрать

ро равным абсциссе «центра тяжести»

фигуры # i (р) (на­

чальному

моменту

первого п о р я д к а ) ,

со

P o = T i ( 0 ) = j ptfi(p)dp,

(3-12)

— со

то момент

называется центральным. Везде предполагается

выпол-

со

ценным

условие

j * # i ( p ) d p = l .

Т 2 ( р о ) = ° / / = j

( р - р о ) 2 Я , (р) dp,

(3.13)

—со

причем о н

есть среднеквадратичная ширина (точнее, полуширина)

аппаратной

функции.

Если одномерная аппаратная функция представляет собой пря­

моугольник длины а, центр которого совпадает с началом

коорди­

нат, то ее смещение ро = 0, а среднеквадратичная ширина

а н = т ^ = - = 0 , 2 8 8 а .

(3.14)

Рассмотрим

горизонтальный

цилиндрический

и сферический

датчики. У

них

смещение центра аппаратной

функции

т а к ж е