Файл: Доценко С.В. Теоретические основы измерения физических полей океана.pdf

* ( P i ,

Ра, Рз;

^) =

5 ( Р 1 ) Ч Р а ) Ч Р з ) Ч - 0 .

то

Г = / / 0 ( г ь

го, г3 ;

t),

т. е. аппаратная функция есть реакция датчика

на

четырехмерный

импульс.

Несмотря на то что вывод соотношения

(1.2)

проведен

не строго,

точные в ы р а ж е н и я преобразования, рассчитанные

для

различных

линейных датчиков,

имеют

именно такой

вид,

а

достигнутая при

ных случаях

(гл. V I I ) .

Отметим,

что аналогично может быть введено понятие

аппарат ­

ной функции

всего прибора в целом,

учитывающее

свойства не

только

датчика, но

и инерционность

остальной

части

прибора.

В дальнейшем, если

не

оговорено противное, под Н0 понимается

именно т а к а я

функция.

З а п и ш е м

в ы р а ж е н и е

(1.8) в более компактном

виде. Обозначим

радиус-вектор центра

датчика

r = r 1 i 0 - f - r 2 j 0 + r 3 k o ,

где i 0 l jo, k 0 — единичные орты, г радиус-вектор точки

измерения

Р = Р 1 io -f- Р2 Jo+Рз^о,

элемент

объема

dp=dpi

dp2

dp3.

Тогда

t

К = j dp j X (P ;

*) tf0

(r - Pi t ~ -0 d-s

(1 -9)

— 00

ства,

их характеристики

очень

гибки

и могут изменяться

в

широ­

ких пределах в отличие от датчиков,

имеющих, как правило,

жест­

кие

параметры,

определяемые

конструктивными

требованиями.

Вследствие

этого

часто

оказывается,

что

самым

неуправляемым

элементом прибора является датчик,

а измеритель

и

регистратор

д о л ж н ы рассчитываться на основании его параметров .

Б о л ь ш а я

часть

авторов, занимающихся

гидрофизическими ис­

следованиями, не принимает во внимание свойство датчиков

осред-

нять

измеряемую

величину по пространству, тем самым

молчаливо

предполагая, что датчики являются точечными. П р е д е л ы

примени­

мости этого

предположения, изложенные выше, требуют детального

или

интеграл Фурье) .

П о л я

измеряемой

физической

величины

Х(р;

т)

и аппаратные функции

# о ( р ; т) в

общем

случае

зависят

от трех пространственных координат и времени.

Согласно

теории

кратных

преобразований

Фурье,

функция

четырех переменных

(трех

координат

и времени)

f (pi, рг, рз', х), удовлетворяющая усло­

виям

Д и р и х л е по всем переменным,

может

быть

представлена

в виде

[59, 74]

со

/ ( P i .

Р2> Рз!

*)=~(ЩГ

Щ

d

a i d

a 2 d

a i X

— СО

со

X

J

/ ( « . ,

« 2 ,

« 3

;

w)eHa'9'+°*H+a3fMda,

— со

где

четырехмерный спектр

этой

функции

дается

выражением

со

со

7(«ь а 2 , а 3 ;

№)=I

I J

d P i dpodp3

j

/ ( Р ь Р 2 , р 3 ;

"ОХ

Здесь величина

со есть круговая

частота,

а величины « ь аг, а з —

волновые числа,

связанные

соответственно

с координатами pi, рг

и р3 . Обозначив:

. в

do. = dax

doL2

daz,

м о ж но записать эту пару

преобразовании в векторной форме:

/ ( р ;

-•) =

, r , l v l

( / ( « ;

(о) exp[y(ap-4-tot)]afarfi.

(2r0-i

(1.10)

/ ( « ;

< • > ) = / ( р ; х ) е х р

[ — У (ap +

шт)] ofp fif-c.

Предположим,

что функция

f (pi, р2 , рз; т)

не зависит

от р3 , но

записана в четырехмерной форме. Тогда

7 ( а ъ а 2 . а з ; w ) = J / ( P i - Р_>; Т ) Х

со

X в " у

rfPl

rfP2

J <T; 'a *' tfp3

— 00

00

и, учитывая

известное соотношение

Je- Ja P^p = 2n6 (a), где б (a) —

дельта - функция Д и р а к а ,

найдем

—со

/ ( « ) ,

an, a 3 ; ш ) = / ( а ь

а 2 ;

w )

(<?-3).

Это соотношение дает

возможность совмещать

преобразования

Фурь е функций разного числа измерений.

Отметим, что аппаратные функции приборов всегда

удовлетво­

ряют условиям Д и р и х л е

(в силу ограниченности объема

измерения

и инерционности),

и для них всегда

справедливо

представление

(1.10). Этим ж е условиям удовлетворяют

и многие

детерминирован­

вероятности р ( | )

{N)(X\,...,

XN) не меняется при любых парал ­

лельных переносах точек р ( 1 ) , ... , p(jV>

[44, 51]. В силу однородности

поля

Х(р)

его среднее значение

Х(р)

д о л ж н о быть

постоянным.

При

этом

без ограничения

общности

можно

считать, что Л"(р) = 0 ,

заменяя,

если надо,

исходное

поле

Х(?)

полем

Х'(р)=Х(р)

—

X ( p ) = j e x p ( ; a p ) r f Z ( « ) ,

(1.11)

со

5 ( r ) = j е>""0, («,) da,

(1.14а)

В (г) =

j j J е > <«•'•+•«">> С? (l/"a?+al+as ) da, da2 da3 .

— CO

Корреляционная функция поля на рассматриваемой прямой да­

ется частным случаем этой

формулы

при /*2 = гз = 0, т. ё.

со

£

(r) = j

J j eJa'r

G ( j / a l + a g + a j j ) da, da2

da3 .

CO

Д л я упрощения

этого

в ы р а ж е н и я

перейдем

в

плоскости

(а», а3)

к полярной системе

координат

a 2 = 7 . cos

ср,'

a3 =v. sin «р.

Учитывая, что при этом

элемент

площади

есть

xdxdcp,

и

инте­

грируя по ф, получим

da,

Производя

во внутреннем

интеграле замену

переменной

а =

= Уа^ + и 2 , окончательно

найдем

со Г

со

5 ( r ) = 2 i c

j

e h

' r \ О (a) a. da.

da,.

Дифференциру я эту формулу по ai, получим

в ы р а ж е н и е трех­

мерного спектра через

одномерный

0

(

а ) =

*

(1.15)

4

'

2яа da