Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf

Г л а в а

8

УСТОЙЧИВОСТЬ

И КОЛЕБАНИЯ

КРУГОВЫХ

КОНИЧЕСКИХ

ОБОЛОЧЕК

1.

УРАВНЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

Пусть

го, г\.—.расстояния

по образующей от

вершины

кону­

са до верхнего и нижнего

основания; а — угол

полураствора

ко­

нуса;

/=/'і — /о — длина

оболочки по

образующей; г — координата,

изме­

ренная от вершины

конуса;

ср — по­

лярный угол (рис. 22).

В этой системе координат урав­

нения

устойчивости (2.99)—(2.100)

примут вид

v

х;

,^

Eh

ctg а

д2

Л

h2

Ѵ 2 Ѵ

дг2

2

(8.1)

Рис. 22. Круговая коническая оболочка

O l l

1

д2

h2

x = 0 .

(8.2)

дг2*

г

дг

r2sin2a

dz2

! - - ^ V 2

1 1

Граничные

условия

для свободно

опертого по

торцам

конуса

будут: Л/'11

= е 2

= ш = Я 1

1 = М п = 0 при г=г0

и г=г\.

В

разрешаю ­

щих функциях

F и % граничные условия

имеют вид

№ u = - N - ^ \

УѴ°2

= 0; №п=0.

(8.5)

Проведем замену

координаты

г,

полагая,

что

г = Гіе«л;

(8.6)

причем

С =

— І п ^ ,

(8.7)

л

гх

поэтому

0 < х < 1 .

(8.8)

З а д а д и м функции w, %, F в форме

w =

7<у0езс"л'5і и тлх

cos іщ\

1

X =

/Cüe 3 c "'v s n

l тях

cos щ\

|

(8.9)

F =

FUе4с~л'

sin иглх cos до .

J

Здесь n—'Число

волн по окружности; m — число

полуволн по

образующей; w0,

Хо,

— константы.

рания оболочки по торцам:

w =

0

при л: =

0, х = \

(8.10)

и, .кроме того, <в пределе

—?-0) соответствует точному

решению

для трехслойного кругового

цилиндра.

Вариационные уравнения задачи в форме Бубнова

имеют

вид (5]:

1

f iѴ,;2 Ѵ/F -

Ehv*w)

bFe^dx

=

0 ;

(8.11)

ô

i

1 - 4 -

V « 2 1 X ~ w

1 *xeKKXdx

=

0;

(8. 12)

о

I

N

d°~

,. d

,

5 г г ) е 2 С я Ѵ л = 0 )

(8. 13)

A

(СЛіЯ)2^дг2

лС —

\w

1

й?дг

,

А2Я 2

.

,

n2 . „

*

T W

(8.16)

.

й =

p/?2

M=m--\

X2

o* =

£ я 2

П

Я2

' '

Переход к цилиндрической

оболочке

осуществляется, когда

а — 0 ; С - > 0 ; X 2 - , / 2 / / ? 2 .

Д л я оболочки, у которой

параметр

£ 2 ^ 1 ,

формула (8.15) мо­

жет быть записана так:

Р-

5

6,25 +

тЦ2

1

9)(16 + /K2i]2) X

41?

6,5

+ ^ 2

4_ _k_

(Afj +

1 + 3 Х^

9 + «2т]2

7Г

T

+

t

[(/ѴІ! — 1)2 + 4

2

)2]

x,2

( M

— 3)

1

+

2 2

W

(9

/H TJ

2

a

(J. A x

•

+ m2-/]2) cos

(8.17)

16)

— 4) +

(Mj _

36 (.Wj — 8) — 32/»2n]2

г д е

5t2

y V l

= m 2 i ï : i + -

Ч 2 ; тіа =

(8.18)

sin-* a

1

Л2

0,1 0,2 0,3 (fr 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 A

О

0,10,2 0,30,4 0,50,60,7 Oß 0,0 К

Рис. 23. Зависимость параметра р*

Рис. 24. Зависимость параметра р*

критического

продольного

сжима ­

критического

продольного

сжима ­

ющего

усилия от параметра

сдви­

ющего

усилия

от параметра

сдви­

га k

для

круговой

комической

га k для круговой конической обо ­

оболочки при а = 2 5 ° ;

• 8 , = 0 , 1 ; і = 1 0

лочки

при а = 2 5 ° ; д = 0 , 1 ;

| = 2