Файл: Григолюк Э.И. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек.pdf

Если ж е связь

обладает бесконечной

жесткостью, краевое усло­

вие приобретает вид

ѵ=0.

(1.102)

Перейдем

к

рассмотрению

краевых

условий дл я

уравнения

(1.89).

Р а с с у ж д а я

так же,

как

н

ранее,

получаем граничные усло­

вия дл я упруго-проседающих

опор

0; J

Q = r0w

при

* =

(

•Q——r,w

при

х — І. j

Здесь

г 0 ^ 0 ;

г ^ О

жесткости

упруго-проседающих

соответ­

ственно левой

и правой

опор.

Условия (1. 103) через функцию

перемещений

в ы р а ж а ю т с я

так:

D \ -

d4_

7_~0 при x — 0;

dxi

dx3

ß

ß

dx'

(1. 104)

ifi

d°-

x = 0 при x =

l.

3

dx°-

dx3

— -

ß

dx°-

метим, что помимо внешних связей на торцах стержня

могут

быть поставлены

внутренние связи, препятствующие

относи­

тельному сдвигу

внешних слоев. Они осуществляются

в виде

М = 0;

5 = 0,

(1.107)

или

^ L = 0 ;

= 0.

(1. 108)

rf,l-2

dx-i

Если д и а ф р а г м а

бесконечно

жесткая,

относительный

сдвиг

слоев на торце невозможен,

поэтому

a

Y = - (

l -

8

) - ^ g =

0.

(1.109)

Л _

_

О

( ,

_ ^

^

. \

А

_ 0

,

(, . ПО)

dx?)

dx>-

а при наличии жесткого прикрепления торца

(учтено

условие

1.109)

dw

=

d*/

«

/л

1 1 1 \

<р=.ау

-

= 0.

(1.111)

dx

dx

В промежуточном

случае,

когда

торец

присоединен

к

упру­

г о - в р а щ а ю щ и м с я

опорам, граничные

условия

имеют

вид

М =

т&

при

х =

0;

(1

112)

Ж =

—т,ср

при

х =

1.

Здесь

іщ^О,

іпС^О—жесткость

'соответственно левой

и пра­

вой опор.

З а п и ш е м

условия

(1.112)

через

функцию

перемещений %.

Т а к же , как

и в

случае

(1 . 111),

учтем условие

(1 . 109)

п

Л

SA2

rf2

\

d2t

dy

„

„

Dil

^.4-171,-^

=

0 при X = l.

(1.113)

В

dx"-

)

\

dx*-

1

dx

*

Однако

л ю б а я д и а ф р а г м а

имеет

ограниченную

жесткость,

мально можно ввести коэффициенты

жесткости д и а ф р а г м ы ho,

hi

S = h0ay

при

Л ' = 0 ; J

(1.114)

5 — — Ііру

при

х

= 1 .

\

Н о в л и я н и е д и а ф р а г м ы будет зависеть не

только от ее собст­

заполнителя .

Кроме того,

и это

главное, влияние торцевой

ди­

а ф р а г м ы носит локальный

характер и быстро

затухает

при

уда­

лении от торца. Учитывая приближенный характер

излагаемой

теории

будем

предполагать, что

на торцах

стержня

а 5 - у = 0 .

Когда

5 = 0 — д и а ф р а г м а

отсутствует,

если ж е ау=0

— имеется

бесконечно ж е с т к а я д и а ф р а г м а .

Это

позволит

рассмотреть

два

крайних случая и тем самым в

случае необходимости

оценить

влияние упругой д и а ф р а г м ы на

напряженно - деформированное

состояние стержня .

а)

торец

свободно

оперт,

д и а ф р а г м а

отсутствует

(w — M =

= S =

0)

-

1

1 4

•

• ,0;

(1.115)

d-x

d*x

б)

торец

свободно оперт,

имеется

бесконечно

ж е с т к а я

диа­

ф р а г м а (w = M = ay = 0)

l -

^

. ^

- U

=

f

l

_

i

* l

^

^

L

= ^

L =

0;

(1.116)

ß

dx*

}

\

ß rfA-2 /

dxï

dx3

'

в)

торец жестко заделан

(ш = ф = і г у = 0 )

Л2

(і2 \

dx

rf3X

г)

торец свободен от связей

(M = S=Q

= 0)

^ L = Ä = M

~

—

- * L ) ^ = 0 ;

(1.118)

гіл-2

dxi

\

ß

dx*

I

dx3

к

'

д)

торец

свободен

от

внешней

связи,

имеется

бесконечно

ж е с т к а я д и а ф р а г м а

(M=Q

= ау — 0)

( 1 _ M . ^ J \ £ L =

^ L =

= £ L =

=

0 .

(

К 1

1 9 )

\

. ß

rfA'2

j

гід-2

dx*

dxS

'

Н а л и ч и е

у уравнений

(1.88) — (1.89)

восьми

линейно

не­

образом

самоуравновешивается .

8. УПРОЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ

РАВНОВЕСИЯ

К а к

у ж е

отмечалось, п а р а м е т р f>

(1.78) обычно очень

мал .

Если

формально положить # = 0 и у=?М, то р а з р е ш а ю щ е е

урав ­

нение

(1.89)

потеряет два порядка

dx*

( 1 . 120)

cp = ay

dx

dx

ay= —

d x 3

'

ß

(1.121)

5 =

0.

И в этом случае число

кинематических

(w, ф)

и

статических

(Q,

М)

факторов соответствует

порядку уравнения

(1. 120). По­

л а г а я в

(1 . 104) и (1 . 113)

ô - = 0 ,

приходим

к краевым условиям

для

упруго-проседающих

и упруго - вращающихся

опор:

при Л ' = 0

D

3

= 0;

dx3

rfA-2

(1.

122)

при

х =

/

Л2_

_rf2_ 7 =

0;

Э

rfA-2

;

i .

123)

d.v-2

1

rf.v

обеспечивающих единственность

решения уравнения

(1.120).

К р а е в ы е

условия,

связанные

с

торцевой

д и а ф р а г м о й , в

дан­

ном

случае

выполняются

автоматически, поэтому

теперь

д и а ф ­

угол

ф, не деформируясь и, следовательно,

не препятствуя попе­

речному сдвигу.

Исходя

из (1 . 122) — (1. 123)

получаем

краевые условия

для

идеальных

опор:

(w = M =

0)

а)

торец свободно оперт

d4

-0;

( 1 .

124)

dxï

б)

торец жестко заделан

(оу = ф = 0 )

3

dxn-

dx

(1 .

125)

к