ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.07.2024
Просмотров: 161
Скачиваний: 1
8
Если применить ( I . I . I 3 . ) к произвольному тетраэдру, то получим
иИ (JJ
Х _ R J= |
^ , |
( I .I .I 4 .) |
g. w |
rf=' |
|
где ЬС1— составляющие |
тензоров частных напряжений и урав |
|
нения |
|
|
Z f e ? . - l l j . |
v ? ) |
или |
|
£ 1 С - [ £ я .г Г - я к % Е ч * ? ', |
4-1 |
( I . I . I 5 . ) |
|||
А--1 |
t - i |
d |
|
|
|
которые эквивалентны трем уравнениям импульса. |
|
||||
Используя соотношения |
( I . I . I 2 . ) , |
( I . I . I 4 . ) и |
( I . I . I 5 . ) , |
||
уравнение (1 ,1 .9 .) |
можно |
привести к виду |
|
|
|
(1 .1 .16.)
i e ^ C ' l} ( ^ n f t X ! d V i -
Р Г " К V * - v ' / H') - h ] c ir = O.
г
Применяя ( I . I . 16) к тетраэдру, образованному координан-
тными плоскостями и плоскостью с нормалью Не |
получим |
L o V W - t t " ) - Л - » , { . ) -- о , |
( I .1.17) |
|
9
где
2 0 ' Ч С ' - ? ' Г ) - г,а С -1 !,'Г \ ] |
( I . I . I 8 ) |
|
|
|
|
(\к - поток тепла |
через плоскость х - х к |
в точке т,. |
Вновь применяя |
( I .I . I 6 ) к произвольному |
объему и исполь |
зуя ( I .1 .1 7 )( найдем соотношение
где
(I .I .2 0 )
Рассмотрим движения среды, инвариантные относительно однородного жесткого вращения, т .е . движения всех п - кон тинуумов отличаются от скоростей некоторого движения только
наложенной .скоростью |
однородного вращения и |
заменя |
||
ются на |
liTim , |
где |
Ъ),т — произвольный |
кососиымет- |
ричвый тензор. |
Как и ранее |
получим: |
|
|
2 - ( 6 * i W i * . ) = 0 , |
(I.I.2 1 ) |
откуда при произвольных U lK следует |
|
1 C - z C |
(1 .1.22) |
d=i |
|
т .е . суммарный тензор напряжений в произвольной точке среды - симметричен.
10
Рассмотрим далее неравенство, определяющее возрастание энтропии в смеси, т .е .
|
|
|
|
~ Т ^ У ^ { т о/Г > 0 ' |
(I .I .2 3 ) |
|
|||
где |
S |
и Т - |
энтропия и температура единицы массы сре |
||||||
ды, |
причем |
Т |
>0. |
Применяя |
(1,1.23) |
к произвольному |
|
||
тетраэдру, |
как и ранее |
получим |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
= |
|
|
(1.1.2Д) |
|
|
Для окончательного вывода определяющих уравнений среды |
||||||||
необходимы определяющие уравнения относительно |
величин Л//*’ |
||||||||
Очевидно, |
когда |
все |
Р.- , кроме одной |
Р 0 , |
стремятся |
к |
|||
нулю, то |
*(jO) |
|
|
’ |
|
Jd |
одыокомпонен- |
||
б*,- . |
должны давать |
напряжения для |
|||||||
тной среды, |
|
и |
A/'IJ' |
долины стремиться к нулю. |
При |
||||
отсутствии химических процессов массообмена между всеми ком
понентами |
смеси должно |
быть |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ГИ.-=0 |
, |
|
(J= i,Z , ... , п ) . |
|
|
(I .I .2 5 ) |
||||
Пусть |
для |
( |
h - НсЦк |
) определяющее |
уравнение |
имеет |
вид: |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 • |
|
|
|
(1.1,26) |
||
Тогда |
из |
( 1. 1 .17) |
и |
( I .I . I 8 ) |
следует, |
что |
Ц) |
= 0 . |
и |
||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.1,27) |
|
Используя |
выражения |
( I .I . I 4 ) |
и ( I .I .2 7 ) , получим |
|
|||||||||
|
|
|
r,<j) |
|
|
|
л.Ч> |
|
|
|
(I .I .2 8 ) |
||
|
|
|
Р- |
|
=У)*0£1 . |
|
|
|
|||||
Коэффициенты |
|
, |
входящие в |
выражение |
для |
кинетической |
|||||||
энергии ( I .I . 8 ) , имеют |
тот |
смысл, |
что |
J7 • |
-эффективная |
||||||||
масса |
j |
- |
компоненты при. |
ее |
относительном |
движении; |
f y |
||||||
при i t j - присоединенные массы, учитывающие взаимные влияния компонент при их движении и отрицательные по знаку.
В зависимости от природы компонент смеси выводятся до полнительные определяющие уравнения. ->
Ниже будет рассмотрен частный случай многокомпонентной среды.
Двухкомпонентная упругая изотропная среда
Рассмотрим случай, когда среда состоит из смеси двух линейных изотропных упругих компонент. В данном случае сво бодная энергия Гельмгольца равна
|
J =U-7-S |
(1.2.1) |
|
и энтропия |
S зависит |
лишь от деформаций каждой из компо |
|
нент и температуры. |
|
|
|
В данном случае закон Гука имеет вид [ 51 ] |
: |
||
Н ft?+ |
2!Л |
; |
|
|
Ы2. ~ЛУ |
|
(1.2.2) |
|
|
|
|
для первой компоненты и |
|
|
|
нс;
|
|
|
(1 .2 .3) |
для второй компоненты, |
где Л- |
упругие |
постоянные. |
e<J> i (dUz\ № |
\ . L |
п .М) |
г(1т..2..4) |
tdUt. |
|
12
Уравнения движения приводятся к виду
а№ л/ рЖ 1+ р» .
|
|
|
2iz |
j i i |
g*» |
J |
|
|
|
|
|
|
— |
+л/ |
\ г ц11) |
о |
|
|
|
|
|
||
|
= р Ш |
|
. + |
о |
|
|
(1 .2 .5 ) |
||||
|
Эр |
^ |
Лг |
|
т J 22 ^T1*- |
|
|
||||
где |
л/ - S k f |
|
р * £ * ] + * [ № ! - Ш 1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
f |
Lfi ?oL |
+J deLj^VLdi |
d t J |
> |
( |
1 . 2 . 6) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
9 - |
коэффициент |
диффузии. |
|
|
|
|
|
|||
|
Систему уравнений ( I . I . 5) можно упростить, если ввести |
||||||||||
потенциалы % , |
Г |
|
■ по |
формулам |
|
|
|
|
|||
|
S"V<«5*r*t4; |
|
|
|
*Г1. |
|
|
(1 .2 .7 ) |
|||
|
Уравнения (1 .2 .5 .) |
приводятся |
к следующим |
|
|
|
|||||
|
Л Л<и +Й, йТ; |
|
|
|
|
|
- |
|
|
||
где |
А - |
трехмерный |
оператор |
Лапласа, |
|
|
|
|
|
|
+Zju- -+ |
; B~Jji?+t y j +z |
f t I -jUu. |
|
|
|
Если |
коэффициент |
диффузии |
9 = 0 , |
то уравнения |
|
|
(1 .2 .8 ) |
можно упростить. |
|
|
|
|||
|
Положим |
|
|
|
|
||
|
$>--% д = ^ , , |
(О , |
,<*v |
(1 .2 |
.9 ) |
||
|
|
v ‘“° r r £ . |
|||||
|
После |
подстановки |
(1 .2 .9 ) |
в уравнения |
(1 .2 ,8 ) для J3 |
||
и ^ |
получим алгебраические |
уравнения: |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
р2 ,?чЛг~PrtJh |
п |
StlBt ,?±bflz _ q . |
|
|
|||
|
J |
Л > В г М |
|
& Л .- Я Л ~ ' |
|
(I -2 -I °) |
||
|
vi,г_ S i { |
( |
. ( |
U |
у. 9ti(^i~Xs)-^iz(.Pt+h) __q |
|
||
|
|
^ ( / Уз ^ |
у)~$г(р>з+-к) |
Szzfii . ^ s j - fa ifjls ) |
(1 .2 .II) |
|||
|
Уравнения |
(1. 2.10) и |
(1 .2 .II) имеют по |
два корня |
||||
и |
|
. Следовательно, в силу линейности |
системы |
(1 .2 .8 ), |
||||
она |
эквивалентна следующей системе волновых уравнений |
|||||||
о \ - П г . |
,„ гх.г& |
|||
|
а \ |
|
st*- |
|
в х а <*,/ |
4^ |
i - |
Л |
и) |
йЧ?’* и г |
Ъ |
д |
Г |
|
A i* |
& - & tfa $2 |
|
||
J ~ A +№ |
|
|
|
' |
^ W i+lrhfatpj-A-) |
C |
|
|
|
(1.2.12)
(1.2.13)
(Ь 2 Л 4)
|
|
|
A |
+ |
t i f n |
' |
& + $ & |
' |
C1-2*15) |
Потенциалы |
^ |
|
и ^ |
называются потенциалами продоль |
|||||
ных волн, |
|
|
потенциалами |
поперечных |
волн. |
Соответст |
|||
венно, |
Q* |
и |
ог |
- |
скорости |
распространения продольных |
|||
волн, |
ё, |
и #z |
скорости распространения поперечных волн. |
||||||
Таким образом, в случае равенства нулю коэффициента |
|||||||||
диффузии |
\> |
движение двухкомпонентной упругой |
изотропной |
||||||
среды |
описывается |
волновыми уравнениями (1 .2.12) |
и (1 .2 .1 3 ). |
||||||
Константы Ji,JUL |
должны удовлетворять |
следующим нера |
|||||||
венствам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|