Файл: Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.07.2024

Просмотров: 170

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР

КРАСНОЯРСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

В. М. АНТОНОВ, В. Н. БОРИСОВ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ

МЕХАНИКА

. (ДИНАМИКА)

Учебное пособие

КРАСНОЯРСК

1974

 

j

Гос. г ОЛИЧ1!йЯ

1

4 '/

|

научно--? - -кнч*ок«-а*г« 1

библио

У,я

.4.1!*

j

 

;

ЭКЗЕМПЛЯР

 

/

 

|

ЧИТАЛЬНОГО ЗАЛА

1

 

 

& - J

3 0

/ 3

 

В настоящем учебном пособии изложены основные вопросы динамики точки, твердого тела и механической системы. Особое внима­ ние уделено рассмотрению физической сторо­ ны положений динамики и практическому при­ менению законов динамики.

В конце глав подробно рассмотрено значи­ тельное количество различных типов практи­ ческих задач.

Настоящее пособие предназначено для сту­ дентов строительных, механических и автодо­ рожных специальностей очного и заочного обучения.

© Красноярский политехнический институт, 1974 г.

Владимир Михайлович Антонов,

Василий Николаевич Борисов

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА (динамита)

Учебное пособие

Редактор Г. К. Гавриленко

Корректор Л. А. Китаева

Сдано в набор 3. IX. 1973 г. Подписано в печать 27/ХП-1974 г. Формат бумаги 60X 84|/ieОбъем 13,25 п. л. Тираж 600 экз. Заказ

249, АЛ06971. Цена 52 коп.________________________________________

Тип. «Красноярский рабочий», г. Красноярск, пр. Мира, 91.

ДИНАМИКА

Динамика — раздел механики, в котором изучается движе­ ние точек и тел под действием сил.

Динамику обычно разделяют на две части: 1) динамику точки и 2) динамику системы.

Вразделе «Динамика точки» рассматриваются законы движения материальной точки.

Вразделе «Динамика системы» изучаются вопросы движе­ ния твердых тел и механических систем.

ЧА С Т Ь П Е Р В А Я

ДИНАМИКА ТОЧКИ

Г л а в а I. ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

§ 1. Законы динамики точки

Движение материальной точки подчиняется четырем зако­ нам динамики, суть которых заключается в следующем:

Закон 1. Е с л и

на с в о б о д н у ю

т о ч к у

не д е й с т ­

вуют н и к а к и е

силы, то э т а

т о ч к а

н а х о д и т с я

в с о с т о я н и и р а в н о в е с и я : с о с т о я н и и п о к о я и л и р а в н о м е р н о г о и п р я м о л и н е й н о г о д в и ж е н и я .

Закон 2 (основной закон динамики).

Ес л и

на т о ч к у

д е й с т в у е т

 

к а к а я - л и б о с и л а

(F),

то

у с к о р е ­

ние

(w),

п о л у ч а е м о е

т о ч к о й

под

д е й с т в и е м

эт ой

с илы,

п р я м о п р о п о р ц и о н а л ь н о

с иле , н а ­

п р а в л е н о

в

с т о р о н у

д е й с т в и я

с илы

(см. рис. 1)

и р а в н о:

 

 

 

 

 

 

3

Рис. 1

F

w =

m

( 1)

 

Здесь: F — сила, действующая на точку;

 

m — масса точки;

 

под действием си­

w — ускорение, получаемое точкой

лы F.

 

 

Массу точки (т) можно определить, зная вес точки (Р):

 

 

 

m = —

-

 

^

 

 

 

(2)

где

g=9,81

м]сек2— ускорение

свободного

падения

точек и

 

 

тел в поле земного притяжения.

 

 

Закон 3 (закон действия и противодействия).

Е с л и

на

п е р в о е т е л о ( точку)

д е й с т в у е т

в т о р о е

с

к а ­

к о й - л и б о

силой,

то

с

т а к о й

же

с и л о й

 

п е р ­

в о е

т е л о

( точка)

б у д е т д е й с т в о в а т ь

на

в т о ­

рое.

 

 

 

 

 

 

 

 

Е с л и

на

Закон 4 (закон независимости действия сил).

т о ч к у д е й с т в у е т

н е с к о л ь к о

сил,

то

у с к о р е ­

ние, п о л у ч а е м о е

э т ой

 

точкой,

р а в н о

 

г е о ­

м е т р и ч е с к о й с у м м е у с к о р е н и й ,

п о л у ч а е м ы х

т о ч к о й от к а ж д о й с ил ы в о т д е л ь н о с т и (см.

рис. 2).

(3)

w = w i+w 2+ w 3+ ...,

где w — полное ускорение точки;

W! — ускорение, получаемое точкой от силы Fp, w2— ускорение, получаемое точкой от силы F2; w3 — ускорение точки от силы F3.

4

. Рис. 2

§ 2. Системы единиц, используемые в механике

При решении практических задач механики необходимо все расчеты вести в какой-либо одной системе единиц.

В механике используются две системы:- система СИ (меж­ дународная система) и техническая система.

Основные механические единицы системы СИ: масса (т) — кг, длина (/) — м,

время (t) — сек. Производные единицы: сила (F) — н,

1 н = 1 кгм/сек2,

Основные механические единицы технической системы:

сила (F) — кГ, длина (/) — м,

■время (t) — сек.

Производные единицы: масса (ш) — г. е. м.,

1 г. е. м. = 1 кГсек2!м.

Соотношение между единицами силы в' системе СИ и тех­ нической системе:

1 кГ = 9,81 н,

1н= 0,102 кГ.

§3. Дифференциальные уравнения движения точки

Пусть точка А массой m движется под действием силы F (рис. 3).

5

У

/

X

Рис. 3

Запишем основной закон динамики для движущейся точ­

ки:

mw=F. (4)

Спроектируем векторное равенство (4) на оси координат

х, у, z. Получим:

>

(5)

где wx, wy, wz — проекции ускорения точки А на оси х, у,

z;

Fx, Fy, Fz — проекции силы F на оси координат.

Из кинематики известно, что проекция ускорения точки на какую-либо ось равна второй производной от уравнения дви­ жения точки в направлении этой оси.

Поэтому

dsx

'Л’х = dt2 ’

d2y

Wy

’

(6)

 

d*z WZ - dt2 .

6

Подставив (6)

в (5), получим:

 

 

 

 

ct2X

 

 

 

 

 

 

d-у

 

 

 

 

(7)

 

m

dt2

—

’

 

 

 

 

 

m

d-z

 

_

 

 

 

(Jl*

— Fz ,

 

 

где x, у, z — уравнения движения точки в направлении

осей

координат.

 

 

 

 

 

Выражения (7)

называются дифференциальными .уравне­

ниями движения точки.

 

 

 

то дифференци­

Если на точку

действует несколько сил,

альные уравнения

движения точки примут вид:

 

 

m

d!x

=

2

Fkx .

 

 

 

(jt'J

 

 

 

ш

d2y

 

2

Fkv >

 

(8)

 

dt2

-

 

 

ГП

d2z

=

2

Fkz '

 

 

 

 

 

 

где SFkx, SF]iy, EFkz — сумма проекций на оси

х, у, z всех сил,

 

приложенных к точке.

 

 

Выражения (7)

и

(8)

определяют движение точки,

про­

исходящее в пространстве.

Если движение точки происходит' в одной плоскости, на­ пример в плоскости хОу (рис. 4), то дифференциальные урав­ нения движения точки будут таковы:

d2x

— ^ F [{Х,

m dt*

d2y

(9)

ш - d F - = s F ky

Если точка движется по прямой, например по прямой Ох (рис. 5), то движение точки определяется одним дифференци­ альным уравнением:

d2x

(10)

m - 5F - = S F kx.

7

 

 

т

W

F

х

о

■♦т------

X

 

 

О

 

 

 

 

Рис. 4

 

Рис.

5

 

На базе дифференциальных уравнений (8), (9) и (10) ре­ шаются многие вопросы динамики точки.

Уравнения (8), (9), (10) позволяют решать следующие практические задачи:

1)по заданным уравнениям движения точки находить си­ лу, вызывающую движение точки;

2)по известным силам, действующим на точку, определять уравнения движения точки.

§4. Решение задач на динамику точки с помощью дифференциальных уравнений

П р и м е р

1. Точка А массой т = 2 кг движется в плос­

кости

хОу

согласно

уравнениям х= 0,2

t2 (м),

у —

= 0,16

sin —^—t

(м) (рис.

6). Определить силу, вызывающую

заданное движение точки.

движется в плоскости,

то

Р е ше н и е .

Так как

точка А

дифференциальные уравнения ее движения будут таковы:

 

 

 

m “d t ^ =

рх ’

 

 

 

 

 

d2y

 

 

 

 

 

m

dta ~

Fy ‘

получим:

 

Подставив данные задачи в эти уравнения,

 

8

 

л

к

—

F1

 

X

2

1

 

Рис.

6

или

 

 

2 ■0,4 =

Fx ,

 

Отсюда

Fx = 0.8 (я) ,

Fy = — 0,198 sin-^-t (я).

Зная составляющие Fx и Fy силы, 'нетрудно найти и саму силу:

F = У Fx2 + Fy2 =

0,64 + 0,039 sin2

(я).

П р и м е р 2. Материальная точка массой т = 2 кг дви­ жется в горизонтальной плоскости хОу под действием двух сил: F, и F2, причем сила Fi постоянна по направлению и со­ ставляет с положительным направлением оси Ох угол а = 60°, а ее модуль зависит от времени F(= 20 t (я). Сила F2 парал­

лельна оси Оу и равна F2 = 4nsin-^-t (я). В начальный мо­

мент движущаяся.точка находится в начале координат и ей сообщена скорость vo=10 м/сек, совпадающая с положитель­ ным направлением оси Ох (рис. 7). Найти уравнения движе­ ния точки М.

Смотрите также файлы