Файл: Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие.pdf

дем кинетическую энергию Т системы:

Т =

0.4 ф'2

+ 2,55х'2 +

(2,55х2 sin2_a) <р'2 .

(н)

4.

Подставим значения Т, Qi и Q2 в уравнения Лагранжа

d

f

дт \

<?T

1

дер

d t

I

(о)

(

<3T \

<?T

d

1

dx

d t

1k dx’ )

и вычислим значения производных,

входящих

в эти уравне­

ния:

лт*

5,lx2.sin2 а-ш'

——7 = 0,8<р' +

Оф

д_ (

дТ

(0,8 +

5,1 х2 sin2 30") Ф"

=

(0,8 + 1,28х2)ф'/

;

(п)

dt

^<9ф'

дТ

= 0;

(Р)

дер

дТ

5,1х'

;

д х '

_d_

д Т

= 5.1 х"

(с)

d t

д х '

дх

=

5,1 х sin2 30°. Ф'2

1,28 х ф '2

(т)

С учетом вычисленных значений

(в), (е),

(п) — (т)

урав­

нения Лагранжа

(о) примут вид:

J (0,8+

1,28 х2) Ф" =

0 ,

( )

1 5,1х" - 1,28хФ" =

294 -

250х ■

Из первого уравнения

системы (у) имеем:

( 0 ,8 + 1,28х2) Ф' =

С, .

(ф)

Начальные условия движения рассматриваемой системы

заданы и таковы:

l +

P cos a

50-0,87

= 1,17

м

t

— 0; Xg =

fpT — 1 +

1 4-

250

(0.8

+

1,28 х2) ср' = 24 .

Отсюда

10

ф

0,8 + 1,28 х*-'

направляющих. Ползун

шарнирно

соединен с

невесомым

стержнем АВ длиной /

(л<), к концу

В которого

прикреплен

Qi=

8А,

’

(а)

8х

где 6Ai — работа всех активных

сил механической системы

на возможном (перемещении системы бх.

Qi

= - 2сх-

w

навливающие силы пружин Fib и F2b.

Работа сил G,

Fi„ и

F2b при повороте стержня АВ на угол бср равна нулю.

Поэтому

оА2 = М8ф = —

Р/ sin фо q> .

(д)

Подставив выражение (д) в

(.г), получим:

~

— РЫпф-Зф

= -

PZ sin ф .

(e)

Q2

= --------- S(p y

3. Определим кинетическую энергию данной системы:

Т = Т ,+ Т 2, .

(ж)

Т,

_1_ G

G

2

Va"

2

( з )

g

g

Т2= 4

Y Va2,

(И)

где va — абсолютная скорость

груза В.

геометрически сло­

Абсолютную скорость груза В найдем,

груза

ve.

и ve

образуют между собой угол ср, то

Так как vr

va2

=

vr* +

ve2 +

2vrve cos cp.

(к)

Относительная скорость груза vr равна:

vr =

lw =

/ф' .

Переносная

скорость груза такова:

'

Ve = x'.

Подставив

значения vr и ve в выражение (к), а

затем в

выражение (и),

найдем va и Т2:

va2

=

1г ф '2 +

х '2 +

2 / ф'х' cos ф ,

(л)

Т 2

= ~

( V 2

+ х '2

+

2/ ф'х' cos Ф) .

(м)

Подставив выражения (з) и (м) в выражение (ж), най­

дем кинетическую энергию Т системы:

„

1 G

,, .

1 -Р

,

, ч

т =

~2

х 2 ~Ь ~2

g (^2ф/ 2 -Ь х '2 + 2/ ф' х cos ф).

(н)

4.

Подставим значения Т, Qr и Q2 в уравнения Лагранжа

d_

дТ

дТ

= Qi.

dt

дх"

дх

(о)

d_

дТ

_ э т

_ с

dt

< v

дТ

G

/ I

Р

,

|

Р / /

дх'

—

х Ч

----- х Ч ------гш cos ф ;

g

g

g

т + т)х''Чтг'сН <р''1

(п>

(P>

dT

P

IW

P

d<p'

—

-I-------lx' cos ф ;

g

g

d_

£ T

(c>

dt

dcp'

(

i

r y

+

(

i l c o s *

-r—

=

-------- lw' х'эШф.

( t >

dq,

g

*

С учетом вычисленных значении

(в),

(е),

(и) — (т)

урав­

нения Лагранжа (о) примут вид:

(G +

Р)х" +

( - j r /co s<P)ф"

=

- 2 с х ;

р

\

р

— Р / sin ф .

— I cos ф I х" Н-----I ф'х' sin ф =

g

J

g

Пр и м е р 3.

Определить

частоту и период

малых

сво­

бодных колебаний

механической

системы с

одной степенью

Р е ше н и е .

Для решения данной задачи воспользуемся

уравнением Лагранжа

2-го рода:

dt

I dq' j

d q . v

(a)

Примем за

обобщенную

координату системы отклонение

Q=гЛАSq_

’

,(б)

8А =

— FB5x =

— сх8х ,

(в)

Найдем зависимость между малыми перемещениями х и

q, используя законы кинематики.

Из рассмотрения плоского движения катка 3 следует:

8х

_

2г

_

2

8q

—

Зг

3 ’

х

2_

q

3

8х =

9

8q,

(г)

—

2

q •

(д)

х - "з

Подставив выражения (г) и

(д)

в (в),

получим:

8А =

- -^-cq8q .

(е)

Подставив зависимость (е) в равенство (б), найдем обоб­

щенную силу Q:

Q = ---- ~

cq = —

-4- 105q = —

1,78-I03q .

(ж)

Определим кинетическую энергию данной системы:

Т = Т ,+ Т 2+ Т 3,

(з)

где Т) — кинетическая энергия груза

1;

Т2 — кинетическая энергия

блока 2;

Т3 — кинетическая энергия катка

3.

Найдем

Ть

Т, =

m ^ ,2 =

- i -

• 1v,2 =

V,2 .

(и)

Найдем

Т2:

ш,г

Т2 — —2~ lo t022

2‘2

С02 =

™

10,2 =

2 • г2г

(к)

4

Найдем Т3, учитывая,

что каток

совершает

плоское дви­

жение:

Т3 = - у - m3vc2 + - у - Jc «з2 = ~ y

m3vc2 Н— ^ т з1зх2

=

-у - 4vc2 +

-у - 4 (ту2 ;2 «32

=

2 vc2 + 4Ло32 .

(л)