Файл: Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.07.2024
Просмотров: 173
Скачиваний: 3
Р е ше н и е . Для точки М, движущейся в плоскости хОу, запишем основной закон динамики (в форме проекций на оси координат):
|
mwx = |
2 Fkx |
|
. |
||
|
mwy = |
v Fky, j |
|
(а) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
2 F kx = |
F, cos 60° = |
20t • 0,5 |
= 10t ; |
(6) |
||
2 Fky = F2 + |
F, sin 60° = |
4 sin - j - |
t + 20t • 0,87 = |
|||
= |
4 t. sin ~2 ~t + |
17,4 t. |
|
(в) |
||
Подставив выражения (б) и (в) в (а), получим |
|
|||||
m\vx = lOt , |
|
|
|
|
|
|
mwy ==4^ sin~^ |
* тЬ 17,4t. |
|
||||
|
\ |
|
|
|
|
|
или (учитывая, что m = 2 кг) |
|
|
\ |
|
|
|
|
wx=5t, |
|
|
(г) |
||
Wy = |
2 т sin- ^- t -j- 8,7 t .j |
(д) |
||||
Из выражения |
(г) определим |
уравнение движения |
точки |
|||
в направлении оси х. Для этого сначала выразим wx через vx:
dvx wx = dt_ '
10
Тогда выражение (г) примет вид: |
|
||||
|
dvx |
= |
5 t . |
|
|
|
dt |
|
|||
|
|
|
|
||
Разделим в полученном равенстве переменные: |
|
||||
dvx =5 5 t dt . |
(е) |
||||
Возьмем интегралы |
от |
обеих частей выражения |
(е): |
||
отсюда |
/ |
dvx = |
/ 5tdt, |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
vx = |
|
Н- |
Ci . |
(ж) |
|
2 |
|
||||
Величина Ci Ьстается достоянной в любой момент време ни движения точки, в том числе и в начальный момент.
В начальный момент времени для точки М
t = 0, |
vx = v0=10 м/сек. |
Подставив эти начальные условия в выражение (ж), най дем С,:
v0=Ci,
отсюда
C]=Vo=10.
Подставив полученное значение Q в выражение (ж), най
дем vx: |
> |
vx = ~2 12 + |
10(~сё?Г) • |
Выражение (з) определяет скорость точки в направлении |
|
оси х. |
координату х: |
Выразим теперь vx через |
|
dx v* = ~аг-
Тогда выражение (з) примет вид:
dx |
5 |
|
dt = |
2 |
t2 + 10 • |
Разделим переменные в полученном уравнении:
dx = + 10 j dt .
11
Возьмем интегралы от левой и правой частей этого урав нения:
J dx = Д -f-t2+ lo) dt -
Отсюда: |
|
|
х = - f - t3 + lot + D |
, |
(и) |
Постоянную Di найдем из начальных |
условий |
движения |
точки: t = 0, х = 0.
Подставив начальные условия в (и), найдем Di:
°=.Е>1. |
|
(и), най |
Подставив полученное значение D] в выражение |
||
дем х: |
|
|
5 |
10 t |
|
х = —g -t3 + |
|
|
или |
(л*). |
(к) |
х= 0,84 t3+ l o t |
||
Выражение (к) представляет собой уравнение |
движения |
|
точки в направлении оси х. |
|
|
Для нахождения уравнения движения точки в направле нии оси у решим уравнение (д):
Wy = 2 тс sin —2 t -j- 8,7 t .
Так как
dvy
то
dvv |
тс |
■ . / |
= 2 тс sin —л-t + 8,7 t . |
at |
* |
Разделим переменные в этом равенстве:
dVy = ^ 2 тс sin ~£~t + 8,7t^ d t .
Проинтегрируем левую и правую части полученного вы ражения:
12
|
|
тс |
sin |
2 |
t ~Ь 8,7 |
dt, |
|
|
отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
vy = |
— 4 cos— |
t + 4,35 l2 + |
C2 . |
|
(л) |
|||
Начальные |
условия движения |
точки: |
|
|
|
|||
|
|
t = 0, |
|
vy= 0. |
|
|
получим: |
|
Подставив начальные условия в выражение (л), |
||||||||
Отсюда |
|
0= —4 cos 0°+С2. |
|
|
|
|||
|
С2=4. |
|
|
|
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
М \ |
|
|
|
|
тс |
|
|
|
/ |
|
|
- Vy = |
- |
4 cos-2- |
1 ^ |
4’35 t2 + 4 \ ~Еёк ) ■ |
(м) |
|||
Выражение |
(м) определяет скорость точки М в направле |
|||||||
нии оси у. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
то |
|
vy — |
dt |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
— 4 cos- ^- 1 + 4,35 t2 + |
4 |
|
||||
|
dt |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разделим переменные в этом равенстве:
dy = ^ — 4 cos ~2 ~ t 4- 4,35 t2 + 4 j dt .
Проинтегрируем левую и правую части полученного вы ражения:
['dy = j*^ — 4 cos-^- t + 4,35 t2 + 4 j d t,
отсюда
8 |
тс |
4,3o |
(h) |
У — — “ |
Sin ~2 ~ t -f |
—3— t3 - f 4 t + D2 . |
|
Начальные условия движения точки: |
|
||
|
t = 0; |
у = 0. |
|
13
Подставив начальные условия в выражение (н), получим: D2=0.
Тогда |
|
У = |
|
или |
|
у = — 2,55 sin- ^- t + 1,45 t3 + 4 t (м) . |
(о) |
Выражение (о) представляет собой уравнение движения точки в направлении оси у.
Итак, кинематические уравнения движения точки М бу
дут таковы: |
|
1 |
|
х = |
0,84 t3 + 10 t . |
|
у = |
— 2,55 sin—2~ * + 1,45 t3 -f 4 t . |
П р и м е р |
3. Материальная точка М массой т = 2 кг, дви |
|
жущаяся в |
плоскости хОу, отталкивается от оси Ох силой |
|
F (н), перпендикулярной к этой оси п пропорциональной рас стоянию движущейся точки от той же оси, причем коэффици ент пропорциональности с=20 н/см. Найти кинематические
уравнения движения точки, если заданы координаты |
х0 = 0, |
|
уо=12 см и проекции скорости vxn = 7 см/сек, |
vy„=14 |
см/сек |
материальной точки в начальный момент (рис. |
8). |
|
F
о
Рис. 8
14
Р е ше н и е . Запишем основное уравнение динамики для движущейся точки М (в проекциях на оси х и у):
m w x = E F k x , ) |
, , |
mwy = v Fky, J |
(a) |
где SFux, SFky — сумма проекций на оси х и у всех сил, |
при |
ложенных к точке М.
На точку М действует только'одна сила F, параллельная
оси у. Она по условию задачи равна: |
|
||||
F = су = |
( кг ■м \ |
|
/ к г ■гм \ |
||
20 у 1—^ г А |
= 2000 у |
. |
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
2FKX= 0, |
| |
|
(б) |
|
|
SFKy=2000 у. ) |
|
|||
Подставив (б) в (а), получим: |
|
|
|
||
|
mwx= 0, |
\ |
|
(в) |
|
|
mwy= 2 - 103y.J |
|
(г) |
||
Решив уравнения (в) и (г), |
найдем кинематические урав |
||||
нения движения точки М. |
|
|
|
||
Решаем уравнение (в). |
|
|
|
||
Так как |
|
|
|
|
|
|
w X --- |
dvx |
’ |
|
|
|
dt |
|
|||
то |
|
|
|
|
|
|
dvx |
|
|
||
|
“ - d |
r - |
0 - |
|
|
Отсюда |
dvx= 0. |
|
|
||
|
|
|
|||
Проинтегрируем полученное выражение: |
|
||||
Отсюда |
/ dvx= |
/ 0. |
|
|
|
vx=C i. |
|
(д) |
|||
Используя |
движения |
||||
начальные условия |
точки (t = 0, |
||||
vx=vx0 —7 см/сек), находим Сь |
|
|
|||
Отсюда |
ух„=Cj. |
|
|
||
С,=7. |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
15
Подставил значение постоянной Ci в выражение (д), по лучим:
vx= 7 |
см/сек. |
(е) |
||
Выражение (е) определяет |
скорость движения точки М |
|||
в направлении оси х. |
в виде: |
|
|
|
Представим теперь vx |
|
|
||
|
|
dx |
|
|
vx - |
dt |
• |
|
|
Тогда |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
Разделим переменные в этом равенстве: |
|
|||
|
dx = 7dt. |
|
|
|
Проинтегрируем полученное выражение: |
|
|||
Отсюда |
/ dx= / 7dt. |
|
||
|
|
|
|
|
x=7t+D ,. |
|
|
||
Используя начальные |
условия |
движения |
точки (1=0, |
|
х= 0), определим Dp |
D,=0. |
|
|
|
Тогда |
|
|
||
|
{см). |
(ж) |
||
x= 7t |
||||
Выражение (ж) представляет собой уравнение движения точки в направлении оси х.
Решим теперь уравнение (г): m\Vy=2- 103у.
Так как |
|
|
|
то |
|
|
|
dvv |
lOJy . |
||
m- |
■ |
= 2 • |
|
|
dt |
|
J |
Чтобы в полученном |
выражении получить |
||
только две переменные, |
умножим- dvv на дробь |
||
|
|
|
dt |
dvy |
|
dvv |
dy |
dt |
~~ |
at |
dy |
вместо трех dy
dy :
16