Файл: Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.07.2024

Просмотров: 175

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Так как

dy

 

dt

=

v v

 

 

 

то

 

 

 

dvv

 

dVv

(и)

dt

 

dy

 

‘ УУ•

Подставив (и) в (з), получим

 

m-

dv

 

 

d T vy =

2 - 103у

Разделим переменные в этом равенстве:

 

 

2 ■

103

V vy =

 

УйУ •

Так как т = 2 кг, то

Vydvy= 1 0 3ydy.

Проинтегрируем левую и правую части полученного вы­ ражения:

J vydvy= / 103ydy.

Отсюда

 

 

V

2

 

103

 

 

 

 

 

 

=

2

 

 

 

или

 

vy2= 103y2+2Ci.

 

 

(к)

 

 

 

 

Подставив в выражение (к) начальные условия движения

точки (t=0, у= у0=12 см,

Vy = vy0=14 см/сек), найдем Сь

 

Отсюда

 

142=

103122+2С ь

 

 

 

 

142 — 103 • 122

 

 

 

С,

=

•

10е .

 

--------- н---------- = — 72

 

Подставив значение Ci в выражение (к), получим:

 

или

 

Vy2=l03y2—2-72-103

/

см \

 

 

 

 

 

 

(л)

 

 

Vy= y i0 3y2—144-103

\ с е к ) '

 

 

 

Выражение

(л)

определяет скорость точки М в направле-

НИИ оси у.

 

 

 

 

 

 

б^ИЧИЗЯ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Зак аз 249

'ПЛЯР

Представим теперь vy в виде:

 

 

 

dy

Тогда

Ь

=

dt' •

 

 

 

dy

v' 10J

• ]/y 2 — 12- •

dt

 

 

 

Разделим переменные в этом равенстве:

___ dy

122 = У 103dt

Vy2

 

Проинтегрируем левую и правую части полученного выра­ жения:

dy

 

 

] / у-

-

 

122

=

j/lO:idt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

о In

у -

12

=

 

31,6 t

D2 •

 

 

У ~Ь 12

 

 

•

12

 

 

 

 

 

 

 

Подставив

 

начальные

 

условия

движения

точки

у= у0= 10 см)

в выражение

 

(м),

найдем D2:

 

 

 

1

10 -

 

12

= 31,6 •

0 +

D2 .

 

2 •

12 In

10

+

12

 

 

 

 

 

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Do —о

1

, In 0,091 =

0,0417-2,3 lg 0,091 = -

0,1

 

’2 •

 

12

 

 

 

 

1----

"'>"уь

 

 

 

Подставив значение D2

в выражение

(м), получим:

 

0,0417 In

У -

 

12

=

31,6 t -

0,1 .

 

 

У 4- 12

 

Отсюда

 

 

у -

 

12

 

 

3l,6t

0.1

 

 

 

 

 

 

 

 

е

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

0,0417

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ИЛИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У — 12

 

_

е

76 t -

2,4

 

 

 

 

 

у +

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(м>

(t=0,

(н )

(О)

18

Выражение

(о) определяет уравнение движения точки М.

в направлении оои у.

Г л а в а II.

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

§ 5. Гармонические колебания точки

Пусть какая-либо точка (тело) соединена с неподвижной вертикальной плоскостью при помощи пружины (рис. 9).

 

X

/

м

/

\п л п п п п г ь

' ' ' ' X

 

О

Рис. 9

Если пружину сжать или растянуть, а затем отпустить, то точка (тело) начнет совершать прямолинейные колебатель­ ные движения в направлении оси х.

Дифференциальное уравнение движения точки М в на­ правлении оси х будет таково:

d2x

'(П)

m -jjr- = £ Fkx

где SFkx — сумма проекций на ось х всех сил,

действующих

на точку.

 

В данном случае на точку М действует только сила со сто­

роны пружины, называемая восстанавливающей силой

пру­

жины FB.

 

 

Эта сила FBпропорциональна

удлинению (укорочению)

пружины, направлена в сторону,

противоположную смеще­

нию пружины из положения равновесия 0—0, и равна: .

 

FB = — сх .

(12)

В выражении (12)

 

:

с — жесткость пружины (величина постоянная, для. данноц

пружийы); ’

.

• (

х — смещение точки из положения ее равновесия О1—0.-

2 *

га

Подставив значение силы F„ в правую часть дифференци­ ального уравнения (11), получим:

 

 

dsx

 

 

 

 

m"dt5_=

~

сх

 

или

 

 

 

 

 

 

d2x

 

 

 

ш-

~f- сх = О

 

Разделим полученное выражение на ш:

 

d*x

 

с

 

 

(13)

dt2

+

m х ” 0 '

 

Обозначим

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

(14)

i r = ki-

 

 

 

 

 

Тогда выражение (13)

примет вид:

 

 

d2x

+

k2x =

0 .

 

(15)

dt*

 

Уравнение (15) называется

 

д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м

у р а в н е н и е м г а р м о н и ч е с к и х к о л е б а н и й т о ч - к и.

Решением дифференциального уравнения

(15), как извест­

но из курса высшей математики,

будет:

 

x=A sin

(lct+a).

(16)

В выражении (16)

от положения ее (равновесия 0—0;

х — отклонение точки

А — амплитуда колебаний точки (максимальное отклоне­

ние точки от положения равновесия);

a — начальная фаза

колебаний;

к— круговая частота колебаний (количество колебаний точки за время 2л сек).

Амплитуда А имеет размерность длины, а измеряется в радианах, к измеряется в рад/сек.

Построим график гармонических колебаний точки, т. е. представим графически зависимость х от времени t. Эта за­ висимость выражается синусоидой (рис. 10),

Время Т, в течение которого 'Происходит одно полное ко­ лебание точки, называется периодом колебаний точки.

20

Смотрите также файлы