Файл: Антонов В.М. Теоретическая механика (динамика) учеб. пособие.pdf

ные уравнения движения механической системы в обобщен­ ных координатах (уравнения Лагранжа 2-го рода).

Число таких уравнений, доставляемых для механической си­ стемы, равно числу степеней свободы рассматриваемой систе­ мы.

Если все действующие на механическую систему силы по­ тенциальны, то уравнения Лагранжа 2-со рода примут вид:

В выражениях (223) П — потенциальная энергия механи­ ческой системы — определяется как величина, численно рав­ ная работе, которую необходимо затратить для перемещения данной системы под действием потенциальных сил из нулево­ го положения в рассматриваемое.

§ 49. Решение задач динамики системы

спомощью уравнений Лагранжа 2-го рода

Спомощью дифференциальных уравнений движения ме­ ханической системы (уравнений Лагранжа 2-го рода) можно находить уравнения движения, скорости и ускорения любого тела или точки системы.

Чтобы для данной движущейся механической системы со­ ставить уравнения Лагранжа 2-го рода, необходимо:

1)установить число степеней свободы системы и выбрать обобщенные координаты системы;

2)вычислить обобщенные силы Qi системы, сообщая си­ стеме независимые друг от друга возможные перемещения;

3)вычислить кинетическую энергию Т системы в ее абсо­ лютном движении и выразить эту энергию через обобщенные координаты qi и обобщенные скорости qV,

4)подсчитать соответствующие частные .производные от Т

оси Az. К валу АВ прикреплен конец пружины, а другой ее конец соединен с ползуном С, который может скользить без трения по стержню DE; вес ползуна С равен Р = 50 н. Ко­ эффициент жесткости пружины равен с = 250 н/м, а ее длина в недеформированном состоянии равна /=1 м. Момент инер­ ции вала со стержнем относительно оси Az равен J = 0,8 кгм2. В начальный момент ползун находился в положении стати­ ческого равновесия и валу была сообщена угловая скорость

степени свободы. Примем за обобщенные координаты систе­ мы угол поворота ср вала АВ и расстояние х ползуна С от точки D (рис. 98).

1. Сообщим рассматриваемой в произвольный момент вр мени механической системе возможное перемещение бср и определим обобщенную силу Qi, соответствующую переме­ щению бср:

Найдем 6А], учитывая, что. в системе действуют две ак­ тивные силы: вес ползуна Р и восстанавливающая сила пру­ жины FB.

198

Подставив выражение (д) в (г), найдем Q2:

где Т] — кинетическая энергия вала АВ со стержнем DE, со­ вершающих вращательное движение вокруг оси z;

Т2 — кинематическая энергия ползуна С. Найдем Ть

Найдем Т2, учитывая, что ползун С совершает сложное движение, состоящее из движения ползуна по стержню DE (относительное движение ползуна) и вращения ползуна вме­ сте со стержнем DE вокруг г (переносное движение ползу­ на) :

Относительная скорость ползуна равна:

Переносная скорость ползуна

ve = о) • СМ = 0)• х sin а = ср' х sin а .

Подставиа значения vrи veв выражение (к), а затем в выражение (и), найдем vaи Т2:

200