Файл: Черный Ф.Б. Теория электромагнитного поля курс лекций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.07.2024

Просмотров: 117

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ЛЕКЦИЯ 2

У Р А В Н Е Н ИЯ МАКСВЕЛЛА В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ

1.Общий смысл уравнений Максвелла .

2.Формулировка уравнений Максвелла в интегральной форме.

3.Уравнения М а к с в е л л а — обобщенная формулировка экспери­ ментальных законов.

4.Закон сохранения зарядов .

1.Общин смысл уравнений Максвелла

Электромагнитное

поле характеризуется четырьмя

векторами.

Эти векторы

таковы:

 

 

 

 

 

Е(х. у , z,

t)

— вектор

напряженности

электрического

поля;

B(.v, y, z,

I)

—вектор

 

магнитной индукции;

 

D(x, у , г, t) — вектор электрического смещения;

 

H(.v, у , z,

L) — в е к т о р

напряженности

магнитного поля.

Размерность этих

векторов

 

 

 

 

вольт

 

в

 

 

 

[Е]

= метр

 

м

 

 

IDl — К У Л 0 И

=

 

.

 

 

L ' ~ метр2

 

-«а '

 

 

[В] = тесла = Т;

 

 

 

 

ампер

А

 

 

 

 

 

 

метр

м

 

 

 

 

Источники электромагнитного поля характеризуются:

— вектором плотности электрического тока J;

— плотностью электрического з а р я д а р- Размерность этих величин

 

ампер _

А

 

 

метр

2

м2 1

 

 

 

г

 

[Р]

кулон

Кл

 

метр

3

 

•3ъ

•

 

 

 

м

 

8

Уравнения Максвелла имеют следующий вид:

I I .

r o t b U cm

Г J;

 

dt

 

I I I .

d l v D = p ;

 

IV.

d i v B = 0 .

 

Уравнения Максвелла формулируют в наиболее общем компакт­

ном виде

законы электромагнитного поля.

Они суть законы,

выра­

ж а ю щ и е

в наиболее общем виде структуру

электромагнитного

поля,

и устанавливают связь между

электромагнитным полем и его ис­

точниками, которыми являются

токи и заряды .

 

Уравнения Максвелла установлены на основе необъятного ко­ личества экспериментальных фактов . Нет ми одного эксперимен­ тального факта, который бы противоречил уравнениям . Теоретиче­ ски эти уравнения не доказываются . Чем полезна формулировка закономерностей поля в обобщенном виде уравнений? Т а к а я фор­ мулировка позволяет установить частные закономерности, в том числе к ранее неизвестные.

Выписанные выше уравнении Максвелла являются дифферен ­

циальными уравнениями в

частных производных.

Однако уравне­

ния М а к с в е л л а могут быть

сформулированы и

в интегральной

форме. Т а к а я формулировка позволяет установить прямую связь уравнений Максвелла с теми экспериментальными законами, обоб­ щением которых они являются .

2.Формулировка уравнений Максвелла в интегральной форме

Первое уравнение М а к с в е л л а (в некоторых книгах оно счита­ ется вторым) формулируется так:

где

/ — ф и к с и р о в а н н ы й

в о о б р а ж а е м ы й

 

з а м к н у т ы й к о н т у р , а 5 — п р о и з в о л ь н а я

 

п о в е р х н о с т ь , о п и р а ю щ а я с я

на

этот

кон ­

В

тур

( р и с

1).

Ц и р к у л я ц и я

вектора

на­

 

п р я ж е н н о с т и

э л е к т р и ч е с к о г о

поля

по

 

н е п о д в и ж н о м у

к о н т у р у

равна

произ ­

 

водной по

времени с обратным

знаком

 

от

потока

магнитной

индукции

ч е р е з

 

п о в е р х н о с т ь ,

о п и р а ю щ у ю с я

-на

 

этот

 

к о н т у р .

 

 

 

 

 

 

Рис.

1

9

Второе уравнение

М а к с в е л л а (в

некоторых книгах

оно

счита­

ется первым) имеет вид

 

 

 

і

 

 

 

 

 

 

I I .

jHtdUf+^D^s,

 

 

где

i

s

 

 

 

 

 

 

 

 

/ — ток

проводимости;

 

 

 

~jlDndS

— ток с м е щ е н и я ;

 

 

 

/ — фиксированный

контур;

 

 

 

S — произвольная

поверхность,

о п и р а ю щ а я с я на

этот

контур

(рис. 2).

 

 

 

 

 

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля по не­ подвижному контуру равна полному току — сумме тока проводи­ мости и тока смещения, протекающему через поверхность, опира­

ющуюся на этот контур.

\

Третье уравнение Максвелла

I I I . s

§DndS=q,

где q — электрический з а р я д

(рис. 3).

Поток вектора электрического смещения через замкнутую по­ верхность равен з а р я д у , заключенному внутри этой поверхности.

Четвертое уравнение

IV . JBndS=0. s

Поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверх­ ность равен нулю (рис. 4). Иначе — вектор магнитной индукции

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

не имеет источников, т. е. в природе нет магнитных зарядов, ана­ логичных электрическим.

3. Уравнения Максвелла — обобщенная формулировка

экспериментальных законов

Первое уравнение является обобщением закона электромагнит­ ной индукции, открытого Фарадеем в 1831 году. Этот закон гласит

10

с л е д у ю щ е е: при изменении потока магнитной индукции через по­ верхность, ограниченную замкнутым проводом, в последнем воз­ никает ток индукции, направление которого определяется прави­ лом Ленца, т. е. индуцированный ток имеет такое направление, что создаваемое им магнитное поле стремится скомпенсировать изме­

нение этого потока. Математическая

формулировка этого

закона

где

 

 

 

 

g — э л е к т р о д в и ж у щ а я

сила индукции, возникающая в

проводе;

Ф — поток магнитной

индукции.

 

 

Обобщение состоит в установлении

равенств

 

 

 

і

 

 

 

 

<P=SBndS,

 

 

 

s

 

 

причем

вместо провода

может быть

любой в о о б р а ж а е м ы й

контур

/ (рис.

5).

 

 

 

Второе уравнение М а к с в е л л а является обобщением закона пол­ ного тока, который в свою очередь является обобщением экспери­ ментального закона взаимодействия двух параллельных токов, от­

крытого Ампером в 1820 году

после

обнаруженного

Эрстедом в

том ж е 1820

году действия

тока

на магнитную

стрелку.

 

Закон Ампера для силы F

взаимодействия

двух

параллельных

токов Іиіі

формулируется

так:

 

 

 

 

 

 

 

F-

^ а / ;

1

 

 

 

 

 

1 -

2пг

'

 

 

 

где г — расстояние м е ж д у

проводами

(рис. 6),

ра—магнитная

про­

ницаемость

среды.

 

 

 

 

 

 

Рис. 5

Рис.

6

Если токи одинаково

направлены, то имеет

место притяжение,

а если они противоположно направлены, то имеет место отталки­

вание.

 

И з л о ж и м

соображения, приводящие к обобщению закона Ампе­

ра во второе

уравнение Максвелла . Ток / создает магнитное поле

11

Смотрите также файлы