Файл: Черный Ф.Б. Теория электромагнитного поля курс лекций.pdf

Скачать файл (4,35Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.07.2024

Просмотров: 116

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

H = s ~ , векторные линии которого представляют собой концентри ческие окружности с центром в точке, где проходит ток (рис. 7,о). Проведем произвольный замкнутый контур / в той ж е плоскости в которой проходят векторные линии И, и найдем (рис. 7,6).

^ H,dU	§ tfcos(l0,H)rf/==	J tfrd<p=/.
1	1	о
	В	ß

Рис. 7

Этот результат, очевидно, можно обобщить на .случай, когда контур / охватывает не один, а много параллельных токов, и тогда получим закон полного тока

М~ f H id 1=^1

i=l,

который формулируется так: м а г н и т о д в и ж у щ а я сила M в замкну том контуре, охватывающем суммарный ток /, равна этому току.

Д а л ь н е й ш е е обобщение сделал Максвелл . Он

ввел

в закон пол

ного тока

новый ток — ток

смещения

~'f'D„dS.

Так

что

магнито

лу

д в и ж у щ а я

сила в замкнутом

контуре

создается

суммарным

током—

током проводимости и током

смещения. Введение

тока

смещения

явилось

наиболее существенным

обобщением

домаксвелловскон

теории

электромагнетизма .

Третье уравнение есть обобщение закона Кулона для силы F

взаимодействия двух зарядов,

открытого Кулоном в 1785 г.:

44s

где

г—

расстояние м е ж д у з а р я д а м и ;

£ а — диэлектрическая проницаемость среды.

Если з а р я д ы одинакового

знака,

то

происходит

отталкивание,

если

разного — притяжение.

И з л о ж и м

соображения, приводящие

обобщению закона Кулона

третье уравнение

Максвелла .

За.ряд q создает электрическое поле

векторные линии которого суть радиусы - прямые, исходящие из за ряда q.

Проведем	произвольную	замкнутую	поверхность,	охватываю
щую з а р я д q	и, учитывая, что	D—BaE=^~^,	найдем	(рис. 8)
		it 2к
§DndS=,§Dcos(tt,r°)dS		= J	$Drn-smM<?db=q.
S	S	0 0

Рис. 8

Этот результат легко обобщается на случай, когда внутри замк-" нутой поверхности имеется не один з а р я д q, а много зарядов, т. е.

и мы получаем третье уравнение Максвелла .


Четвертое		уравнение Максвелла		является	обобщением	очень
д а в н о известного			экспериментального факта,		что сколько	бы	раз
мы	и и половинили		бы магнит, все равно получается магнит			с	дву
мя	разными	полюсами — северным		и южным, т. е. южный и		север
ный	полюсы	не могут существовать		раздельно. В то ж е время			за

кон взаимодействия двух магнитных полюсов вполне аналогичен закону Кулона для взаимодействия электрических зарядов . На ос новании этих двух экспериментальных фактов и приходим к за ключению, что поток вектора индукции через замкнутую поверх ность должен равняться нулю. То есть векторные линии В всегда замкнуты .

4.Закон сохранения зарядов

За к о н сохранения зарядов м о ж н о рассматривать как следствие

уравнений	М а к с в е л л а .	Действительно, если	во втором уравнении
М а к с в е л л а	контур / стянуть в точку, то получим, что			контурный
интеграл будет равен		нулю, поверхность 5	окажется	замкнутой

Воспользовавшись третьим уравнением, находим, что

Это соотношение формулирует закон сохранения з а р я д а . Изме

нение зарядов внутри некоторого объема,				ограниченного замкнутой
поверхностью, равно току, протекающему				через эту	поверхность.
	Если в первом уравнении		М а к с в е л л а	стянуть	контур	в точку,
то	контурный	интеграл будет	равен нулю, поверхность S			окажет
ся	замкнутой	и мы получим

j ' ß „ r f S = c o n s t ,

причем согласно четвертому уравнению const = 0.

Таким образом, из второго и третьего уравнений М а к с в е л л а вытекает закон сохранения электрических зарядов, а из первого и четвертого уравнений вытекает закон сохранения своего рода «магнитных зарядов», т. е. всегда действует суммарный «магнит ный заряд», равный нулю. ІТначе говоря, в природе не существует магнитных зарядов, аналогичных электрическим.

ЛЕКЦИЯ 3

У Р А В Н Е Н ИЯ МАКСВЕЛЛА В Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н О Й ФОРМЕ

1.Преобразование интегральных уравнений Максвелла в диф ференциальные .

2.Уравнение непрерывности.

3.Плотность силы Лорентца .

1.Преобразование интегральных уравнений Максвелла

вдифференциальные

Втеории электромагнитного поля обычно оперируют уравне ниями Максвелла в дифференциальной форме в силу их значи тельных преимуществ перед уравнениями М а к с в е л л а в интеграль ной форме.

Эти преимущества			таковы:
а) дифференциальные уравнения представляют собой									наибо
лее адекватное описание поля, поскольку они определяют									физиче
ские величины	в каждой			точке пространства;
б) дифференциальные уравнения более удобны для									решения
необъятного количества частных задач .
Преобразуем		уравнения			Максвелла	в интегральной		форме		в
уравнения Максвелла в дифференциальной форме. При									этом	бу
дем пользоваться формулами Стокса и теоремой							Остроградского —
Гаусса.
В первом	и	втором		уравнениях М а к с в е л л а			производим преоб
разование по	формуле			Стокса. Согласно		этой формуле		имеем:
									п
Считаем поверхность S плоской площадкой,
ограниченной		контуром,			и настолько	малой
(рис. 1), что вместо
jrot„ErfS			= - ^ b		„ d S		Рис.		1

м о ж ем записать:

r o t „ E A 5 = - ^ n - A S .

Здесь полная производная по времени "заменена частной про

изводной, потому что гоІ„Е и			Ь'„	в последнем				р а в е н с т в е — э т о
средние значения этих величин на				очень малой			площадке		AS, т. е.
это почти их значения в точке. Следовательно,							rot„E и		Вп	здесь
являются у ж е функциями не только времени,						но	и	координат.
Поскольку последнее		равенство		д о л ж н о выполняться для						произ
вольно ориентированной		площадки		AS=n^5',		то оно может				выпол
няться	только тогда, когда имеет		место		равенство
		1 - 0 1 Е — Л Г -			'
Смысл	этого уравнения — вихрь		вектора		напряженности электриче
ского поля в какой-либо точке равен скорости изменения										вектора
магнитной индукции с обратным знаком					в той ж е		точке.
Второе уравнение Максвелла аналогичным образом представ
ляется в виде
	J r o t „ H r f 5 = / +			iADndS.

Вводим в рассмотрение плотность тока J по формуле

берем произвольную достаточно малую площадку Л 5 и получаем

r o t „ H A S = / n A 5 4 ^ Л - Ѵ .

Поскольку это равенство должно выполняться для произвольным, образо^і ориентированной площадки AS = nAS, то оно будет вы полняться только тогда, когда имеет место равенство

			r o t H = J + - \| ? .
Смысл этого уравнения: вихрь вектора напряженности				магнит
ного	поля в	какой-либо точке равен сумме плотностей		токов —
тока	проводимости и тока		смещения.
В третьем		и четвертом	уравнениях М а к с в е л л а производим пре
образования		по теореме Остроградского — Гаусса .

Одновременно вводим в рассмотрение плотность з а р я д о в по фор муле

Тогда вместо третьего и четвертого уравнений М а к с в е л л а					полу
чаем
	J d i v D d l M p d V ;
	V	V
	J d i v B d l ^ O .
	V
Эти соотношения д о л ж н ы выполняться д л я произвольных					объ
емов и в том" числе	д л я достаточно малого Л V, и		мы	можем	запи
сать
	div DAV=pÄV;
		йіѵВАѴ^О.
Отсюда получем	вторую па,ру уравнений М а к с в е л л а
		d i v D = p ;
		d i v B = 0 ,
то есть расходимость вектора электрического смещения в					какой-
либо точке равна плотности электрических зарядов в				этой ж е точ
ке, а расходимость	вектора	магнитной индукции	везде	равна	нулю.

Таким образом, система уравнений М а к с в е л л а такова:

I . r o t E » - ^ ;

П. r o t H = J + - ^ ;

I I I .	d i v D = p ;
I V .	d i v B = 0 .

Эта система уравнений является наиболее фундаментальной си стемой уравнений современной физики.

Вполне разумным является вопрос: почему наиболее фунда ментальные законы природы — законы электромагнитных явлений описываются уравнениями именно такого вида ?К сожалению, сов ременная физика на этот вопрос не в состоянии ответить.

2. Уравнение непрерывности

Как мы видели, из уравнений Максвелла	какчСледствие	вытека
ет закон сохранения зарядов . Формулировка	этого закона	в д и ф

ференциальной форме получается соответственно из уравнений Мак свелла в дифференциальной форме.

В силу того, что

div rot H = О,

2 Чорный