Файл: Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.07.2024
Просмотров: 95
Скачиваний: 0
и (0 = Ri (t) + |
1 |
d x . |
(14) |
|
С |
||||
|
|
|
Выходное напряжение v(t) равно падению напряжения на емкости
1л
v(0 = —gr- ^ i (х) dx .
Дифференцированием последнего равенства ио t выразим ток через напряжение:
i (/) =-- С
dv (t) dt
Подстановка тока в уравнение (14) приводит к дифферен циальному уравнению, описывающему работу ДС-фильтра:
CR dt— |- V и .
Находим частотную характеристику фильтра:
R C i i + I '
Спектральная плотность выходного напряжения имеет вид:
g o ______
R 2 С2 со2 + 1
Наконец, вычисляем корреляционную функию выходного напряжения:
I W ^ T T da
Для вычисления несобственного интеграла продолжим аналитически подынтегральную функцию на всю комплек сную плоскость и воспользуемся леммой Жордана.
114
|
П р и |
х > |
О |
|
|
|
Г |
p*ft |
|
|
go e imz |
i |
|
J |
№ С2 w2 -f 1 |
= 2 ^ Res |
Я2 C2 u>2 + 1 |
RC |
||
|
|
|
|
— |
P R C . |
|
|
|
|
|
RC |
|
|
|
При |
x < |
О |
|
|
|
i |
R W |
T |
T |
rf“ “ - 2”i R“ |
go eimT |
i |
R2 C2 to2 + 1 |
RC |
|||||
-go RC
что вполне согласуется со свойствами корреляционной функ ции стационарного случайного процесса. Объединяя резуль таты вычисления интеграла в одну формулу, получаем
к * Ь ) = ~ Ж ~ е ' ^ '
Итак, выходное напряжение v(t) будет отличным от бело го шума, так как его спектральная плотность отлична от по стоянной на всей оси частот. Энергетический спектр белого
•шума на выходе стационарной линейной динамической систе мы с точностью до постоянного множителя совпадает с квад ратом модуля частотной характеристики линейной системы. Это обстоятельство используется для определения ширины полосы пропускания (в энергетическом . смысле) линейной динамической системы. Ширину полосы пропускания системы полагают равной длине основания прямоугольника, высота которого равна максимуму выходной спектральной плотности, а площадь — дисперсии выходного процесса, при условии, что на вход системы подан белый шум.
Если функция зч(ш)=| Ф(гш)|2^0 имеет максимум в точке ш0, равный (ш0). то ширина полосы пропускания |ш— со0|< < Дш линейной системы в энергетическом смысле вычисля ется по формуле
go J I ф (ito) |2 |
Рп |
щ0 — Дю < о) < ш0 -f- Дщ « — ----------------- |
|
S’]К) |
Sn (©о) |
115
В нашем примере спектральная плотность выходного на пряжения
|
sv (“>) |
Яо |
|
|
|
|
||
|
R- С- со2 + |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
имеет максимум в точке ш=0 |
S'v(O )=g0, а дисперсия выход- |
|||||||
|
|
«Я, |
|
|
|
|
|
|
ного напряжения равна |
ьо |
Поэтому ширина полосы про |
||||||
RC |
||||||||
|
|
|
|
|
ш I < |
Дсо |
||
пускания /?С-фильтра в энергетическом |
смысле |
|||||||
равна |
- : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дш = |
TZ |
|
|
|
|
|
|
|
2RC |
|
|
|
|
||
и полностью зависит от параметров R |
и С. |
|
|
|||||
Пример 2. На вход /?£С-фильтра |
(рис. 18) поступает бе |
|||||||
лый шум, |
спектральная плотность которого равна go. |
|
||||||
|
|
|
|
|
Как следует |
вы |
||
|
|
|
|
|
брать |
параметры |
||
|
|
|
|
|
фильтра, чтобы дис |
|||
|
|
|
|
|
персия |
выходного |
||
|
|
|
|
|
напряжения не |
пре |
||
|
|
|
|
|
восходила |
заданного |
||
|
|
|
|
|
числа D? |
|
|
|
Решение. Входное Рис. 18 напряжение u(t)
равно сумме паде ний напряжения на сопротивлении R, индуктивности L и емко сти С\
и (() = Ri (t) + L ^ |
+ - L - j i (т) dx . |
*0
а выходное напряжение u(t) равно падению напряжения на емкости С:
dx .
Исключая из этих соотношений ток i(t), получаем
LC |
d *v |
+ RC |
dv |
-f v — и . |
|
~W |
|
dt |
|
116
Частотная характеристика фильтра имеет вид
|
ф («*>) |
= Т С {шу- + RC ш + Г |
’ |
||
а спектральная плотность выходного напряжения |
|||||
|
, |
ч |
go |
_ |
|
|
s« W |
~ |
(1 _ Z-Сш2)2 + R2 С- ш2 |
|
|
|
_________________go_______________ |
||||
|
“ |
L°- С2 (o“ — (2 LC - R l С2) о,2 + 1 |
|||
Вычисляем дисперсию выходного напряжения: |
|||||
|
|
|
«о |
|
|
|
•о |
|
- - о* |
|
|
|
|
dw |
|
||
= go |
|
|
Т о |
||
I 2 С- |
— (2LC - R- О ) Ш2 + 1 |
/ ? с ~ ' |
|||
|
|||||
Несобственный интеграл можно вычислить при помощи теории вычетов. При этом следует иметь в виду, что знамена тель подынтегральной функции не должен иметь действи тельных корней. В противном случае интеграл был бы расхо дящимся, а дисперсия выходного напряжения — неограни ченной.
Дисперсия выходного напряжения зависит только от двух параметров У? и С и не превзойдет заданного значения D при
RC >
Itjfn
D
Пример 3. На вход динамической системы, работа которой описывается дифференциальным уравнением
|
/ (0 + |
3 / |
(f) |
+ |
2 у (0 |
= |
x ' ( t ) + 2 х |
(t) |
, |
|||
поступает стационарный случайный |
процесс £ (t) |
|
с математи |
|||||||||
ческим |
ожиданием |
тс => 2 |
и |
корреляционной |
|
функцией |
||||||
■*«(*) = |
4е-М -. |
|
|
|
|
реакции |
системы |
д (/) при |
||||
Определить характеристики |
||||||||||||
установившемся режиме. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
• Решение. Процесс д (t) |
связан с процессом |
5 (t) |
уравне |
|||||||||
нием - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V 4 0 + |
3 +( 0 |
+ |
2 - ч ( 0 « = |
5 ' ( 0 |
+ |
|
2 5 ( 0 - |
||||
117
I. |
Находим математическое ожидание |
тч |
процесса f\{t |
|||||||||
на выходе системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
тп = |
-g- |
|
= 2 . |
|
|
|
|
|
2. |
Находим |
|
частотную |
|
характеристику |
системы Ф (ш |
||||||
и квадрат ее модуля: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
л /• ч |
— |
ш |
4 -2 |
’ |
I ^ |
\ |
~ |
|
tb2 -j- 4 |
_ |
||
(w>) |
|
з |
_j_ 2 |
I |
I |
со4 -(- 5 co2 -f- |
4 |
|||||
|
|
|
|
w2 -f- 4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(ш2 -|-4) (to2 + |
1) |
|
со2 |
+ |
1 |
|
|
|||
3. Вычисляем спектральную плотность процесса £ (/)•' |
|
|||||||||||
|
|
- -01 ~~ |
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
^ (ш) = |
I |
4 |
е~'ш' tfx = 41 eO-H--dz + |
|
||||||||
it |
) |
|
|
it ^ 1 |
— ito |
\ |
|
ito J |
it (1 -)- ш2) |
|||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Вычисляем |
корреляционную |
функцию К* (х) |
процесс |
||||||||
4 (t) |
на выходе системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Кп(х) |
* |
| : Ф (м)) р 5=(“ ) е*" |
=» |
~г J |
-(~Ш2 |
^ 1)2 |
dw ■ |
|||||
|
—оа |
|
|
|
|
|
|
•« |
|
|
||
Продолжим аналитически подынтегральную функцию на всю комплексную плоскость и для вычисления интеграла при меним теорию вычетов:
При х > О
|
|
dz = |
o l - Z |
|
|
|
|
( z 2 |
+ |
2гЛ Res |
l)2 |
|
|
||
I ) 2 |
(z2 + |
|
|
||||
= 2 та lim |
A |
eHz (z — i f |
2 |
(x.+ |
.' |
||
(z zi |
i)2 (г + i)2 |
||||||
|
dz |
|
|
||||
118
П ри |
х < О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o l - Z |
|
|
|
|
|
|
|
r>i~Z |
|
— / |
|
|
|||
|
~ dz — — 2 -к/ Res |
(Z2 + |
l)2 |
|
|
|
||||||||||
|
(Z *+ 1) |
|
|
|
|
|
|
|
’ |
|
|
|
||||
= — 2 ut lim |
|
|
|
e,TZ (г + |
г)2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
dz |
|
(г |
- |
|
/)2 (г |
+ |
i f |
|
= |
т |
(| |
|
|
|
||
|
z-*—i |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
К , Ы = |
2(1 |
— х) ет |
при |
|
х < |
0 , |
|
|
|
||||||
|
2 (1 |
-Ь х) |
при |
|
х > |
0 . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К , 00 |
~ |
2(1 |
+ I X I) е-М, |
|
|
|
|
|
||||||
а |
|
|
Dr, = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/С, (0) = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример 4. Заданы спектральные плотности |
случайных про |
|||||||||||||||
цессов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
ЦП |
|
|
|
|
|
|
|
|
С“ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|||
а> |
<“ > ” |
T |
F + |
4 |
P |
; |
б) |
s =<“ > |
= Т У Т " |
“ |
; |
|||||
в) |
5- (со) - i l / . |
|
|
|
|
V + |
a- -j- (Р — <и) |
|
|
|||||||
|
|
т. |
( о?- -)- (Р -j- со)- |
|
|
|
||||||||||
(« > о, |
Р > 0) . |
случайные |
процессы |
дифференцируемы |
и |
|||||||||||
Будут ли эти |
||||||||||||||||
сколько раз? |
|
|
дифференцируем |
один |
раз, так как |
|||||||||||
Решение. Процесс а) |
||||||||||||||||
j* со2" s5 (со) d a |
= |
SO |
|
|
со2 d со |
|
|
25 |
< |
-f |
со |
|
||||
|
|
|
|
(со2 + 4)2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Процесс б) дифференцируем п раз |
(п — любое, |
но конеч |
||||||||||||||
ное); ибо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СО2" S. (со) da = |
2 |
К * . |
г |
со2" |
|
|
d a = |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
во |
|
|
,0s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К Т |
- |
1 |
со2" е |
16 |
da . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
119
