Файл: Чепиль А.М. Конспект лекций по элементам теории случайных процессов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.07.2024
Просмотров: 94
Скачиваний: 0
где f0 — момент включения системы. Когда известна весовая функция g(t) системы, то характеристики выходного процесса т) (£) определяются через соответствующие характеристики входного процесса по общим правилам, рассмотренным в па раграфе 5 главы I.
Если устремить t 0 оо (это соответствует тому, что си стема включена бесконечно давно, все переходные процессы закончились и система работает при установившемся режиме), то процесс
П(t) = l.i.m. |
f g (t — т) £ (-u) dx = |
f g ( t — z)% (x) dx |
о |
*0 |
“ |
на выходе стационарной линейной системы будет уже стацио нарным в широком смыслу Действительно, если £ (/) — ста ционарный случайный процесс, то
|
|
|
t |
|
|
|
|
с |
|
|
|
Щ (0 = j i (t — х) |
dx = /n£ j g (t — X) dx . |
||||||||||
|
|
|
----00 |
|
|
|
|
00 — |
|
|
|
Полагая |
t —x= u, |
получаем |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
тц (t) |
= m... j |
g |
(и) du — const ; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
{tu |
|
|
‘l |
f2 |
g (^1 — И) g (^2 — |
(x, - |
T j dx^x., . |
||||
|
= |
[ |
J |
||||||||
Введем замену переменных ty — xi — |
t2 — x2 = |
«2. Но |
|||||||||
вые переменные |
будут изменяться |
в пределах 0 < |
ц, < о о , |
||||||||
О < и., < |
°о, |
а якобиан перехода равен единице. Поэтому |
|||||||||
К, |
t3) |
= |
j |
j g |
(их) g- (и,) Д:£ (/2 — ^ — u2 + |
tix) duxdu2 |
|||||
|
|
|
о |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
t. e. корреляционная |
функция |
K n |
(tь h) |
зависит |
только от |
разности аргументов t2—tt и, следовательно, процесс т) (t) ста ционарен в широком смысле.
Нас интересует метод получения характеристик тч и /^(т) на выходе системы при установившемся режиме с помощью спектральной теории. Вернемся к передаточной функции Ф (р) системы. При р = ио передаточная характеристика Ф {ш ) называется частотной характеристикой системы, которая в об щем случае является комплексной величиной. Физический смысл частотной характеристики Ф (гш) ясно виден на при
110
мере преобразования гармонического колебания |
е ш . Если |
||
на вход системы поступает функция е1ш1, |
то на выходе будет |
||
гармоническое колебание этой же частоты |
со, |
умноженное на |
|
частотную характеристику системы Ф (ш ). |
Для |
частоты со |
передаваемая энергия равна приходящей, умноженной на ко эффициент энергетической передачи, а именно на Ф(ссо)р.
Пусть (со) — спектральная плотность процесса Е (/) на входе системы, a (ш) — спектральная плотность процесса
"Л(*•) на выходе системы. Средняя мощность флуктуации про цесса т) (t) определяется равенством
со
0 , = [ s, (®) d a .
С другой стороны, в соответствии с тем, что передаваемая энергия равна приходящей, умноженной на коэффициент энер гетической передачи, имеем
L\ = f I Ф (гш)|‘ s%(со) rfoj ,
откуда
s^(co) = | Ф (ccp);2 s£ (со),. - |
(12) |
Итак, для определения спектральной плотности sr (ш) про
цесса -г] (t) на выходе стационарной линейной системы, рабо та которой описывается оператором (2), требуется найти спек
тральную плотность (со) процесса с (/), поступающего на
вход системы, и умножить ее на квадрат модуля частотной ха рактеристики Ф (ш), причем существование спектральной
плотности Хт,(со) на выходе системы процесса т, (t ) гаранти руется сходимостью интеграла
со
j I Ф (га) р (со) d ш.
Чтобы получить формулу (12), мы требовали существова ния m-й производной процесса Е (t). Однако, даже в тех слу чаях, когда на вход стационарной системы поступает недиф ференцируемый случайный процесс Е (0 и, следовательно,
уравнение (2) теряет смысл, по спектральной плотности |
(а ) |
процесса Е (<) определяется спектральная плотность s (со)
Ш
процесса т) (t) с помощью формулы (12), причем требуется только сходимость интеграла
j | Ф (ш ) |2 (ш) dw ,
—сю
что в реально существующих системах всегда имеет место. Здесь важно только, чтобы в уравнении (2) было т < п. Тогда квадрат модуля частотной характеристики |Ф (гш)|2 будет ограниченной функцией (порядок ее числителя по крайней ме ре на две единицы ниже порядка знаменателя) и существова ние интеграла
^ |
(ш) du |
•о— |
|
влечет за собой сходимость интеграла |
|
jj |Ф (гео) |2 |
(<в) dm |
--- ОО |
|
даже в том случае, когда в уравнении (2) т —п.
Наконец, для определения математического ожидания тл отклика •») (t) по математическому ожиданию /я£ воздействия
I (t) на стационарную линейную систему достаточно в равен стве
’ « |
= |
- щ щ - |
« W - |
ф (■'“ ) 5 « |
|
положить си = |
0 |
и заменить |
Е, (t) |
на те . |
|
Тогда получим |
|
|
|
||
|
тг — Ф (0) /га5 = |
т, , |
(13) |
||
так как неслучайную составляющую тг процесса Е, (I) |
можно |
рассматривать как гармоническое колебание нулевой частоты. Таким образом, полное решение поставленной задачи со
стоит из следующих шагов:
1. По математическому ожиданию >п. воздействия 5 (0 систему определяем математическое ожидание tnv отклика т( (t) системы:
тп — |
А |
ш, . |
|
й0 |
|
112
|
2. |
По корреляционной |
функции Кг (т) |
вычисляем спек |
|||
тральную плотность входного воздействия Е (t): |
|
|
|||||
|
|
|
s5(w) = |
- |
f Кг (т) е~1т Л . |
|
|
|
3. |
По виду оператора линейной системы находим ее частот |
|||||
ную |
характеристику |
|
|
|
|
||
|
|
|
Ф (гш) |
В т (до) |
|
|
|
|
|
|
Ап (ш) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
вычисляем |
спектральную |
плотность s n (ш)отклика |
систе |
|||
мы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s n (ш) = | Ф (гш) |- s . (о)) . |
|
|
||
|
4. |
Вычисляем корреляционную функцию |
Кц (т) |
отклика |
|||
Ti |
(0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
(х) = |
J Sij (ш) |
|
= j |Ф (гш) |2 s£ (со) е,га" <7ш. |
—со
Внекоторых случаях исследователя может интересовать только дисперсия выходного процесса т( (Q, которая вычисля
ется весьма просто:
|
D,, = J |Ф (гш) ]2 |
(ш) dco . |
|
|
|
|
Перейдем |
к рассмотрению |
примеров. |
|
|
|
|
Пример 1. |
Напряжение на входе |
ЯС-фильтра (рис. 17) |
||||
|
R |
|
представляет |
собой |
||
|
в |
белый |
шум, |
спект- |
||
-I |
|-------------- |
ральная |
плотность |
|||
|
с |
|
которого |
равна go. |
||
|
_ |
Найти |
корреляцион |
|||
|
|
|
ную функцию выход- |
|||
|
-------- «г |
ного напряжения. |
Решение. Пусть и (() — входное на пряжение, а и(^) —
выходное. Входное напряжение u(t) равно сумме падений на пряжений на сопротивлении R и емкости С, т. е.
8. Зак. 525. |
ИЗ |