Файл: Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.07.2024
Просмотров: 93
Скачиваний: 0
|
|
|
|
- |
92 - |
|
|
0 ,2 5 ) |
||
откуда |
|
х / |
Л. |
i , |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
/у» |
t , |
|
|
|
|
|||
|
|
v*-* US. |
|
|
|
|
||||
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
(10,25) |
|||
Кроме того, |
Х ' - Х Ъ ) - |
и первой формуле |
||||||||
согласно |
(4,20) |
группы (5 ,2 0 ), |
||||||||
имеем |
|
Л . |
, U .J ■ + Л . |
|
и .ч = |
1 . |
|
|||
|
|
/*у4 * |
|
|
|
' |
» |
|
||
Присоединяя |
сюда |
(7 ,2 0 ), |
получим два независимых уравнения |
|||||||
относительно |
и,3 |
|
, |
u.f |
, |
из |
которых согласно |
(1 0 ,2 5), еле-, |
||
дует, что |
u.3 |
= U j d ) , |
|
|
|
(11,25) |
||||
Свертывая (9,25) c . ^ , |
zполучим |
|||||||||
(12,25) |
||||||||||
Дифференцируя |
|
|
|
|
K. |
|
||||
ковариантно (16 ,2 3), получим |
||||||||||
|
|
|
|
|
к |
|
, а |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
*ы |
|
или, согласно (6 ,2 3 ),
или, согласно (5,25) , |
|
, |
(13.25) |
||
|
t c X |
||||
откуда, свертывая с с/се"cue |
,rполучим |
(14.25) |
|||
; |
я * найдется, |
согласно |
|||
Отсюдаt |
(10,25), как функция |
||||
аргумента |
, который можно |
считать |
играющим роль |
пара |
|
метра вдоль оси абсолюта. . |
|
|
имеем |
||
Преобразуем условие |
(1 ,2 5 ) .Согласно ( 8 ,25), |
или, согласно |
|
- 93 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(5,25), |
f r . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
или |
|
И у д |
s |
J y + |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= |
|
|
|
|
е * ч е і / ч > . |
|
|
(15.25) |
||||
Если |
для |
поверхности |
|
Ä о |
|
|
(16.25) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
ln |
i |
|
|
|
|||||
то éij |
можно |
|
|
|
іи |
ІіХ |
|
|
|||||||
представитъ в виде |
|
|
|
|
|
||||||||||
где |
- |
|
|
|
|
:=е‘ ѲУ |
|
|
|
|
(17,25) |
||||
ковектор.Поэтому |
|
|
|
|
|||||||||||
Условие (16,25) характеризует развертывающуюся поверх |
|||||||||||||||
ность. Из |
(15,25) |
следует, |
|
что для развертывающейся поверх |
|||||||||||
ности, согласно (17,25), внутренняя кривизна |
/Г=1 |
, |
т . е . |
||||||||||||
равна |
кривизне |
пространства. |
|
|
|
|
|
||||||||
Если поверхность не развертывающаяся, то (15,25-) можно |
|||||||||||||||
подвергнуть |
дальнейшему преобразованию. Получим |
снвчала одно |
|||||||||||||
' тождество. |
|
â*О 4і%J: |
- |
антисимметричный, |
|
то |
(§ |
13) |
|||||||
Так как |
тензор |
з |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
°і |
ij |
|
|
|
|
|
(л. J. |
|
|||
где S' |
- |
скалярный множитель . Свертывая эго |
с |
|
|
, |
т .е . |
||||||||
приведенными минорами |
|
4ц |
|
, получим |
|
|
|
|
|
||||||
откуда |
|
|
|
Н |
е |
|
|
|
|
|
|
|
(18,25) |
||
|
как |
■4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Так |
|
ilL |
г* |
|
% |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
£ |
|
|
|
|
|
|
|
то из (18,25) имеем
сг = I
Поэтому |
|
|
- |
94 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
|
|
|
(19,25) |
|
||||
Теперь |
(15,25), |
|
|
V J |
|
|
|
|
||||||
согласно |
(19 ,2 5 ), |
примет вид |
|
|
|
|
||||||||
откуда |
/С |
- |
- P J |
~ |
7 1 |
|
|
> |
(20,25) |
|||||
|
/ - |
|
|
|
|
|
|
|||||||
§ 26. ^войной абсолют |
|
|
|
|
w, и а , имеется |
|||||||||
При абсолюте, |
образованном плоскостями |
|||||||||||||
произвол в определении функций, входящих в (10,25), (11,25), |
||||||||||||||
(20 ,2 5 ). Поэтому неоднозначно |
определяется и нормаль І-го |
|
||||||||||||
рода к поверхности |
в точке |
|
х * .Ценою дополнения абсолюта |
|||||||||||
двумя комплексно-сопряженными |
точками |
0, |
и |
лежащими на |
||||||||||
оси абсолюта, можно устранить эту неопределенность и опреде |
||||||||||||||
лить нормаль І-го рода однозначно. |
|
пары плоскостей |
со, и со* |
|||||||||||
Назовем |
конфигурацию, |
состоящую из |
||||||||||||
и лары точек |
Ot ,Ot |
, двойным абсолютом, |
а |
действительную прямую |
||||||||||
пересечения |
плоскостей w, |
и ^ _ |
по-прежнему осью абсолюта. |
|
||||||||||
Полярные преобразования |
относительно |
двойного абсолюта |
||||||||||||
определим следующим образом. Для произвольной |
точки |
А |
|
простран |
||||||||||
ства полярную плоскость будем |
определять |
так |
же,как |
относи |
||||||||||
тельно прежнего абсолюта. Если |
точка |
А |
не лежит на оси абсо |
|||||||||||
люта, а =(А- ее полярная плоскость, |
уз - |
плоскость, |
проходя |
|||||||||||
щая через |
и ось |
абсолюта, |
тс пара |
гармонически раэделя- |
||||||||||
. ется парой со, , сох |
и является |
соответственной |
в инволюции, |
|||||||||||
' определяемой |
двойными плоскостями со, , |
|
.Если точка |
А |
лежит |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
<s>% |
|
|
|
на оси абсолюта, то ее полярной плоскостью будет произвольная плоскость, проходящая через ось абсолюта.
Пусть 5С есть плоскость, не проходящая через ось абсолюта,
Обозначим через |
, точку пересечения этой плоскости с осью |
|
|||||||||
абсолюта, а через |
Ö5 - точку, сопряженную |
9 , |
, в инволю |
|
|||||||
ции, определяемой |
на оси абсолюта двойными точками |
Ot |
, |
Ох |
. |
||||||
Назовем точку |
Ф |
полюсом плоскости |
’S’C |
.Полюсом плоскости, |
|
||||||
проходящей через |
ось абсолюта, очевидно, будет |
любая |
точка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 95 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о с и |
а б с о л ю т а . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Т а к и м |
|
о б р а з о м , |
|
о т н о с и т е л ь н о |
|
д в о й н о г о |
а б с о |
||||||||||||||||
т о ч к е |
|
п р о с т р а н с т в а , |
н е |
л е ж а щ е й |
н а |
о с и |
а б с о л |
|
|||||||||||||||
с т в у е т |
|
е д и н с т в е н н а я |
|
п о л я р н а я |
п л о с к о с т ь , |
|
и |
к |
|||||||||||||||
н е |
п р о х о д я щ е й |
ч е р е з |
о с ь |
|
а б с о л ю т а , |
с о о т в е т с т в |
|||||||||||||||||
н ы й |
п о л ю Ь . |
|
" л я |
т о ч е к , |
л е ж а щ и х |
|
н а |
о с и |
|
а б с о л ю |
|||||||||||||
п р о х о д я щ и х |
ч е р е з |
|
о с ь |
а б с о л ю т а , |
с о о т в е т с т в у ю щ |
||||||||||||||||||
с к о с т и |
|
|
и |
|
п о л ю с ы |
н е о п р е д е л е н н ы . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
О ч е в и д н о , |
ч т о |
|
п о л ю с ы |
|
и |
п о л я р н ы е |
п л о с к о с т и |
|
|||||||||||||||
в а |
с в я з а н ы |
м е ж д у |
|
с о б о й |
б о л ь ш и м |
п р и н ц и п о м |
|
д в о |
|||||||||||||||
О б о з н а ч и м |
п о - п р е ж н е ч илу |
чт ае нр ге ез н ц и а л ь н ы е |
|
к о о р д |
|||||||||||||||||||
н а т ы |
к а с а т е л ь н о й |
|
п л о с к о с т и |
к |
п о в е р х н о с т и |
|
в |
|
|||||||||||||||
р е з |
Z1* - |
|
|
т о ч к у |
п е р е с е ч е н и я |
к а с а т е л ь н о й |
п л о с к о |
||||||||||||||||
а б с о л ю т а , |
а |
Яч е -р е пз о л ю с |
|
к а с а т е л ь н о й |
п л о с к о с т и |
||||||||||||||||||
х ^ и |
Л ? “ |
я в л я ю т с я |
с о о т в е т с т в е н н ы м и |
в |
и н в о л ю |
||||||||||||||||||
т а |
с |
д |
в о |
й н |
ы м |
и |
т о ч |
к |
а |
м и |
|
<?, |
, |
|
|
; |
с л е |
д о |
в |
а т |
е л |
ь |
|
Н |
о р |
м |
а |
л |
ь |
І |
- г |
о ■г |
р |
о д |
а |
в |
п |
р о |
и з в |
о |
л ь н о |
Сй1,26)т о |
ч к |
е |
п |
о |
|
с и х |
п о р |
|
у д о в л е т в о р я л а |
|
д в у м |
у с л о в и я м ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 ) |
Ѳ |
|
н э |
б ы л а |
о р т о г о н а л ь н а |
к а с а т е л ь н о й |
п л о с |
||||||||||||||||
т о ч к е , |
|
|
с л е д о в а т е л ь н о , |
|
п е р е с е к а л а |
о с ь |
а б с о л ю т |
||||||||||||||||
2) конгруэнция нор?.іалей І-го рода была сопряжена поверх |
|
|
|||||||||||||||||||||
ности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Все вычисления до § 26 подчинялись только этим двум |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
условиям. |
|
|
|
|
|
|
|
рода |
к поверхности |
в точке |
* |
|
|
|
|
||||||||
|
Назовем нормалью І-го |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
прямую, |
соединяющую |
*"* с |
полюсом касательной |
|
плоскости |
к |
|
|
|
|
|||||||||||||
поверхности |
|
в |
х0* .Нормалью 2-го |
рода |
в точке |
|
* -по-преж |
|
|
|
|||||||||||||
нему |
назовем |
прямую пересечения |
касательной плоскости |
в * |
|
|
|
|
|||||||||||||||
с полярной плоскостью точки прикосновения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Таким |
образом, с |
каждой |
точкой х“ поверхности мы свя |
|
|
|
|
||||||||||||||||
зали прямую (нормаль І-го |
рода), проходящую через |
х~ , |
но |
|
|
|
|
||||||||||||||||
не лежащую в касательной плоскости |
в |
х |
, и |
прямую (нормаль |
|
|
|
||||||||||||||||
2-го |
рода), |
лежащую в касательной |
плоскости |
в |
х ,но не про |
|
|
|
|||||||||||||||
ходящую через |
л* . |
|
называет |
поверхность |
норыализо- |
|
|
|
|
||||||||||||||
В этом |
случае |
I.орден |
|
|
|
|
- 96 -
вавной (§ 15). В дальнейшей можно воспользоваться обиими результатами теории нормализаций Нордена.*)
Конгруэнция определенных только что нормалей 1-го рода сопряжена поверхности, так как она является двойственным об разом конгруэнции, гармоничной поверхности. Поэтому относи тельно системы нормалей 1-го и 2-го рода имеют место все пре дыдущие соотношения.В частности,
' Так как, |
кроме того, имеет место (8,21) |
|
(2,26) |
|
то можно поло— |
||||
жить |
«3 |
» ьг.*б, |
|
(3,26)t |
где б , согласно (Ъ.,25), |
есть некоторая функция от |
.По |
||
этому из (2,26)Xимеем |
X Ч-fr^ б г |
|
|
|
откуда |
’с СЛІѳ |
|
|
|
• |
.г |
|
(4,26) |
|
|
|
|
|
Из (1,26), согласно (14,25), получим ■„
1 ^ * 0 ,
поэтому 1
(5,26)
1 »*•
Дифференцируя (1,26) по t , получим
или,, согласно (12,25) и ( И ,25),
I откуда, согласно (4,26) и (5,26),
j - 'i t ) •+ г»1 * |
о. |
|
|
Теперь (20,25) |
примет |
вид |
(6,26) |
K |
- l + n S ^ - |
х) Корлеи А.Н., 0 внутренних геометриях поверхностей проек тивного пространства : Труды сем.по вект.и тенз.аквлизу, вып.УІ, ІЭ48, и вкп.УП, 1949.