Файл: Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.07.2024
Просмотров: 90
Скачиваний: 0
- 22 -
иметь определенную поляру, |
|
если |
|
(9 ,6 ) |
LXU |
Л,і |
0. |
||
Q-iX |
|
(LJL |
||
Ilj, 4 -»i |
Л g |
|
||
и |
|
|
||
Линии и поверхности второго порядка, для которых 2)е^/а;,40,называются вырождающимися. Для невырождающихся линий и поверхностей второго порядка имеет место следующее положе ние: относительно любой невыроядающейся линии и поверхности второго порядка каждой точке плоскости (соответственно про странства) соответствует определенная поляра (соответственно полярная плоскость).
Предположим, что точка |
находится не линии (1 ,5 ) или ' |
поверхности ( 2 ,5 ) } тогда |
|
Уравнение |
|
«,р |
r |
I |
|
|
|
(ю,б) |
|||||
(5 ,6 ) |
поляры, |
согласно (7 ,6 ), удовлетворяется, . |
|||||||||||
если |
вместо х і |
подставим у*. Это |
значит, |
что поляра |
точки ли |
||||||||
нии (1 ,5 ) |
или поверхности (2 ,5 ) |
проходит |
через |
эту |
точку. |
||||||||
Очевидно, |
эта |
поляра |
не пересекает линию (1 ,5 ) |
или |
поверх |
||||||||
ность |
( 2 ,5 ) , |
следовательно, |
касается е е . Таким |
образом, |
по |
||||||||
лярой |
точки линии (1 ,5 ) |
или поверхности |
(2 ,5 ) |
является |
каса |
||||||||
тельная к |
(1 ,5 ) |
или касательная |
плоскость к ( 2 ,5 ) . |
|
|
||||||||
Отметим следующее свойство поляры: Бели точка *• лежит |
|||||||||||||
на. поляре |
точки |
у |
,то .точка у |
также |
лежит |
на |
поляре точ |
||||||
ки |
у |
.Действительно, |
согласно |
( 5 ,6 ) , имеем |
|
|
|
||||||
?./» S * |
= ° ‘ |
Так как полярой точки Я |
является= 0 » |
то, согласно ( I I , ь ), имеем
Z . o - c i V “0'
что и требовалось Доказать.
Доказанная теорема позволяет получить следующий способ построения поляры р по данному полюсу 9 : проводим из
- 23 -
обе касательные линии второго порядка ; соединяя точки при |
|
|||||||||||
косновения, получим поляру |
|
|
|
|
|
|
||||||
Разумеется, |
это |
|
р. |
|
|
|
|
|
||||
построение |
|
|
|
|
|
|||||||
предполагает, |
что |
точка |
9 |
на |
|
|
|
|
|
|||
ходится вне линии второго по |
|
|
|
|
|
|||||||
рядка. Если точка |
|
находится |
|
|
|
|
|
|||||
внутри^линии, |
то |
поступаем |
так: |
|
|
|
|
|||||
через |
(Р |
проводим |
две прямые |
, |
в |
|
|
|
|
|||
точках пересечения |
последних с |
|
|
|
|
|
||||||
линией проводим касательные |
к |
|
|
|
|
|
||||||
линии второго порядка до их пе |
р |
точки |
У* |
. |
||||||||
ресечения ; соединяя |
последние, |
получим поляру, |
|
|
||||||||
Свойство поляр линии (конического сечения) для случая, когда данная, точка находится вне линии, были известны Апполѳнию. Теория полюсов и поляр была разработана Дезаргом(15931661), Хиром (1640-1718) и Ионием (1248-1818).
§ 7 . Классификация' линий и поверхностей второго порядка
До |
сих пор мы |
исключали из рассмотрения случаи (8 ,6 ) |
и |
(9 ,6 ) |
вырождения |
линий и поверхностей второго порядка. |
Те |
перь мы будем рассматривать и случаи вырождения этих геомет-. р.ических объектов. При этом мы начнем со случая пространствен-?
ных образов. |
что полярная |
плоскость |
точки |
у |
имеет урав |
|
нение |
Мы видели, |
|
||||
( 6 ,6 ) : |
|
|
|
|
|
|
где |
+ |
ь + |
f t + |
* ѵ/з |
|
0 ■ с If 7) |
текущие |
координаты. |
Из (7 ,6 ) |
мы найдем |
точки у , |
||
для которых полярная плоскость неопределенна. Решая систену
( 7 ,6 ) , |
мы долгны |
различать |
пять |
случаев |
в зависимости от |
|
ранга |
матрицы |
° - U |
Я - и . |
° - і і |
V |
(2 ,7 ) |
|
|
ач |
а-г.1 |
I |
||
сцу I
Сц/ (Яѵд О-чу
- 24 -
I» |
Определитель Q e tlct^jl |
матрицы (2 ,7 ) не равен |
нулю. |
|||||||||
В этом |
случае |
система (7 ,6 ) |
не имеет решений |
относительно |
||||||||
2 , |
|
Определитель 3)ét/Hyj равен нулю, |
но |
среди миноров |
||||||||
матрицы (2 ,7 ) |
существует по |
крайней мере |
один |
отличный от |
||||||||
нуля минор третьего порядка. В этом случае существует лишь |
||||||||||||
одна точка |
у |
»координаты которой удовлетворяют |
системе |
|||||||||
( 7 ,6 ) . |
|
' |
|
3 ) è t/A y / |
|
равен нулю, |
равны |
нулю и все |
||||
3 .Определитель |
|
|
||||||||||
миноры |
третьего порядка матрицы ( 2 ,7 ) , |
но |
существует |
по |
||||||||
.крайней мере один минор второго порядка, |
отличный от |
нуля. |
||||||||||
Тогда существует целая прямая |
точек |
-у |
, |
координаты |
кото |
|||||||
рых удовлетворяют уравнениям |
|
( 7 ,6 ) . |
|
|
|
|
|
|
||||
4 . Определитель 3jd.IQ .ijj равен нулю, равны нулю и все миноры второго порядка, но существует по крайней мере один минор первого порядка матрицы ( 2 ,7 ) , т .е . один из коэффи циентов Ciij уравнения (2 ,5 ) поверхности, отличной от ну
ля. Тогда существует целая плоскость точек у , координаты которых удовлетворяют уравнениям ( 7 ,6 ) .
5 . Все миноры первого порядка матрицы (2 ,7 ) равны нулю, т .е . все коэффициенты уравнения (2 ,5 ) поверхности равны нулю. Но этот случай мы исключили с самого начала как не имеющий никакого геометрического смысла.
Как известно, наибольший порядок отличного от нуля опре делителя матрицы называется рангом матрицы. Таким образом, в рассмотренных четырех случаях ранг матрицы (2 ,7 ) коэффи циентов уравнения ( 2 ,5 ) ,поверхности имеет ранг, соответст венно равный 4 , 3 и / . Ранг матрицы (2 ,7 ) будем называть рангом поверхности.
При проективных преобразованиях ранг поверхности вто рого порядка не изменяется, так как характеризуемые рангом
.различные вырождения полярного преобразования не переходят друг в друга при проективных преобразованиях.
' Нам остается определить вид различных типов поверхно стей с рангами 4 }3 , і и 1 .С этой целью мы отнесем поверх-
- 25 -
кость к координатному тетраэдру. Пусть одна из верш и н ^, этого тетраэдра не находится на поверхности, а противоле жащая координатная плоскость Ef , является полярной плос костью точки 9\ . В этой системе координат точка 5^ , с координата ми /,0,0'им еет полярную плоскость •*,=0 . Подставляя в (1,7 ) координаты точки 0] , получим
°-и * / + |
х г +0-ц*-з гО-мХ-ч-О |
|
имеем |
|
|||||||||||
и так как это |
уравнение |
|
должно иметь вид х ,= 0 ,т о |
|
|||||||||||
|
°-/1 - Q-іЗ |
= |
Q-ty |
= |
о ■ |
|
|
|
|
||||||
Предположим, что поверхность в выбранной системе коор |
|
||||||||||||||
динат имеет уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3,7 ) |
|
||||
|
|
А |
~ 0> |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Л//*•, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где C t ^ c .Тогда |
она |
|
является |
дважды взятой |
плоскостью |
Ef |
, |
||||||||
Теперь предполодим, |
|
что |
в уравнении поверхности |
имеются |
|||||||||||
другие члены, |
кроме |
аѵ |
х / |
|
, тогда |
оно имеет |
вид « „х |
|
|
|
|||||
Выберем новый9(координатный тетраэдр |
|
|
|
|
|||||||||||
с вершинами |
и |
^ |
|
,где ^ |
|
не |
при |
|
|
|
|
||||
надлежит поверхности, |
и противолежащи |
|
|
|
|
||||||||||
ми им координатными плоскостями |
|
х ,= о |
|
|
|
|
|||||||||
иОтметим, что по доказанной ра-
нее |
теореме полярная |
плоскость |
Е/ |
содержит точку ^ ,а поляр- |
|||
ная |
плоскость |
Et |
содержит точку |
|
^ . |
||
|
Предположим, чт!о поверхность в выбранной системе координат |
||||||
имеет уравнение |
о-« * |
+а-і х*= |
О л |
|
(4 ,7 ) |
||
г д е а ^ о , |
а ц ? о |
|
|
||||
|
|
ітогда она |
является парой плоскостей, |
||||
проходящих через линию пересечения координатных плоскостей^ и £2 . Если в уравнееии поверхности тлеются и другие члены,то
оно имеет |
вид |
л„ ** + &1S |
|
f l С^з/у^Возъиен |
на |
координат |
||
ном ребре х ,= 0 |
, |
х2=0 ( т .е . на |
линии пересечения |
координатных |
||||
плоскостей |
|
) |
точку |
% |
, |
не находящуюся на |
поверхности. |
|
В качестве |
Е„Е% |
|
|
тетраэдра выберем тетраэдр, |
||||
нового |
координатного |
|||||||
имевший вершины |
- 26 |
- |
|
,а соот |
||||
9 \, |
|
fj>b |
||||||
ветствующие им полярные плоскости £ |
||||||||
у£3 |
-противоположными координат |
|||||||
ными |
ПЛОСКОСТЯМИ |
X, =0 |
, х а |
= |
0 , * 3 =0 . |
|||
Из доказанной ранее теоремы следует, |
||||||||
что четвертая вершина |
% |
координат |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
ного тетраэдра является полюсом противолежащей координатной плоскости Еч .
Этот тетраэдр называется полярным тетраэдром.
Б выбранной системе координат уравнение поверхности бу дет содержать также координаты и Ху .Получится или урав нение
|
|
|
-t- at |
|
X |
“ 0 |
|
(5,7 ) |
|
где |
|
|
ч- о.V х з |
|
|||||
°-цФо , л 1гФ0> |
|
или уравнение |
|
(6 ,7 ) |
|||||
где |
о-, ро , |
|
+ Л,£ Х-х |
|
|
о ' |
|
||
|
, |
«зз іьо , о.чіФ- 0 . |
|
|
|||||
|
В случае |
(5 ,7 ) |
мы имеем конус с вершиной в точке (в с ,с ,/ ) , |
||||||
а в случав (6 ,7 ) -невырождающуюся |
поверхность |
второго |
по |
||||||
рядка |
с определителем, отличным |
от |
нуля: а ,« * « , йу / о • |
||||||
|
Отметим |
, |
что |
определители |
поверхностей |
( 3 ,7 ) , |
( 4 ,7 ) , |
||
( 5 ,7 ) , (6 ,7 ) |
имеют ранги |
1 ,2 ,3 |
и 4 соответственно, И так |
||||||
как ранг определителя при проективном преобразовании оста |
|||||||||
ется неизменным и уравнение всякой поверхности второго |
|||||||||
порядка может быть приведено к одному их расссмотренных вы- |
|||||||||
■ ѳ видов, то мы |
приходим к |
следующему результату: Уравнение |
|||||||
любой поверхности второго порядка при помощи надлежаще вве денной системы координат можно привести к одному из сле дующих четырех канонических видов ( в зависимости от ранга соответствующего определителя):
** +й33*3 +
О./,*,*■ + « i t * £ • + Q j j * J — О , |
(7 ,7 ) |
|
*/■ Яц ><1-0, ак*,L=o.
