Файл: Сапрыкин Г.С. Исследование операций в энергетических расчетах учеб. пособие для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей теплотехн. каф., аспирантов и студентов специальности 0305.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.07.2024

Просмотров: 102

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

та позволяет найти лишь необходимые условия существования услов­

ного экстремума. Исследуемые функции, к тому же, должны быть не­ прерывны, как и их производные.

Рассмотрим пример.. Пусть необходимо определить минимальное

значение целевой функции

 

 

 

U

- - 1X i

 

 

 

 

 

при наличии ограничения

 

 

 

 

 

 

Сначала определим минимальное значение Ц,

 

при отсутствии

ограничений. Производные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Щ - Ц - о -

 

 

 

 

 

откуда

Х * ^ = 0

 

u J -0 •

 

 

Л соответствии

с

Решим эту же задачу с учетом ограничений.

(3 -1 2 )

составим

функцию Лагранжа

 

 

 

 

 

 

 

 

р = ( х а+^а) + Л ( у - а - В х 1)

 

 

Систем а уравнений

ля

определения

X

У

имеет

вид

 

 

 

=2х-2М Х = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 u = 2 t f * X - 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

3F_.

 

 

 

 

 

Из решения системы следует

 

 

^minг-а

 

 

 

Х .= -0 ,^ ::О)

 

 

Таким.образом, влияние ограничений заключается в снижении ка­

чества

оптимума,

т .е .

по сравнению со

случаем

отсутствия ограни­

чений

значение минимума будет

увеличиваться, а значение максиму­

ма -

уменьшаться.

 

 

В связи с этим необходимо

отметить

следующее. Вид ограниче -

ний по-разному сказывается на

качестве

оптимума. Например, при

оптимизации энергоустановки в

условиях постоянной и переменной

электрической мощности электрогенератора будут получаться различ­ ные численные значения минимума целевой функции - расчетных зат­ рат и значений решений . Но эти ограничения диктуют­

ся действительными условиями и поэтому бытующее иногда представ­ лю .

ленке о целесообразности оптимизации при ограничениях, обеспе -

чипающих наименьшие расчетные затраты,по крайней мере, не оче - видно.

Особый случай встречается при оптимизации линейной функции цели с ограничениями в виде линейных равенств или неравенств. В

математике

для этого

разработан специальный метод

. называемый

методом л и н е й н о г о

п р о г р а м м и р о в а н и я

.

И задачах

линейного

 

программирования оптимизируется функция

 

 

 

и . ч )ас( +сгэс1 + . . , + с п х (1

 

( з -w )

При т .

ограничениях

 

 

 

 

j

 

 

a„x,

 

 

 

 

 

 

 

0-21

+ Q22 *£(2+ ' •* +^2tl

 

0 1 5 ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

___

 

Q-m<X)+ CL2mXi+ -.-+QfttnXft^fim

 

и условии

X ( > 0

;

OC^S-Oi. . . , X ^ Q .

 

 

Задача оптимизации сводится к нахождению таких неотрицатель­

ных значений переменных

, Х г

, X Sv. ^которые

удовлетворяют ли

нейпым ограничениям

 

(3 -1 5 )

и при которых функция (3 -1 4 ) обраща -

стоя в минимум (максимум).

 

 

 

 

Рассмотрим геометрическую интерпретацию'данного метода,Пусть

необходимо максимизировать

функцию

 

 

 

 

 

M

. 2 X

t 4 4 X t

 

 

ПрИ

 

 

&Х,+5Хг«200,

 

 

 

 

 

7 Х , + 5 , 6 ^ « « 6 .

 

 

 

 

 

5 Х ( + 7 Х 2 « т

 

 

и3C,aQ, X ^ Q .

Если построить график уравнения

B X j + 5 X 2 =2DQ

, то

полу

-

чим линию, делящую плоскость

на две

области

(р и с.3 - 3 ) .

Для обла

-

сти, включающей начало координат, справедливо неравенство

 

 

8 Х , + 5Х г <200 , , для второй

области

ЙХ<+5 X 1 *2 0 0

. Остальные

два неравенства делят плоскость аналогичным образом.

 

 

 

Если считать, что Еыбор значений

Х^ и

X j- представляет

 

собой выбор точки н а ‘плоскости, то

эта

точка

должна лежать

внут­

 

ри области ОАЬС

или на её

границах.

 

Поскольку

линия

 

7 Х ,+ 5 ,8 Х г Ч 9 6

лежит вне

пределов этой области, то это

огра­

 

ничение является

избыточным.

Основной результат теории линейно-

 

 

 

 

 

 

 

 

41

 

 

 

 

 

го

программирования за­

 

 

 

 

ключается в

утверждении,

 

 

 

 

что точка ( X ,

, Хг ) ,

в

 

 

 

 

которой функция И дости­

 

 

 

 

гает

максимума, должна

 

 

 

 

находиться в одной из

 

 

 

 

вершин многоугольника

 

 

 

 

ОАВС

 

.

Координаты

 

 

 

 

 

этих

точек:

0

(0 ;0 )

;

 

 

 

 

А

(0 ;2 5 ) ;

В C I6.23

;

 

 

 

 

1 2 ,9 );

С (2 5 ;

О ): Со­

 

 

 

 

ответствующе

значения

 

 

 

 

функции

 

U

■’

Ид=0

; 1

 

 

 

 

Цд =

35;

 

Ц в =38,39

и

 

 

 

 

U.c =30.

 

Следовательно,

 

 

 

 

максимального

значения

 

 

 

 

функция

 

Ц

достигает

 

 

 

 

в

точке

 

 

В

при

 

 

 

 

 

 

ОС, =16,93

и Ха = 12,9 .

Легко проверить, почему точка ( DC, л

 

) ,

в

 

которой дости­

гается максимум функции

U

, должна находиться в

вершине мно­

гоугольника.

Если сохранить

значение

U

постоянным (например,

Ц = 2 0 ),то при изменении

X ,

и Х а

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

11= 1 ,2 X , + tyDCj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

должно представлять линию. Выбирая другое значение

U

(напри

-

мер,25) получим параллельную линию,

отстоящую дальше от

начала

координат, чем первая лилия

и т .д . Максимальное

значение

U

при­

надлежит линии, наиболее отдаленной от точки

0

 

 

,

но имеющей по

крайней мере

одну точку,

лежащую внутри или

на границе

многоуголь

ника JJA B t

. Такая линия проходит через

точку

В

 

 

 

Задачи линейного программирования возникают в экономических

исследованиях

- при планировании в условиях

ограниченных ресур­

сов , оптимизации планов поставок и т .д . Число независимых пере­ менных в таких'задачах очень велико, поэтому их целесообразно решать на ЭЦВМ, для чего разработаны специальные методы, напри­ мер, симплексный, потенциалов и другие.

Если операция естественным образом расчленяется на ряд эта­

пов, шагов, а показатель

эффективности Ц

выражается

суммой

показателей эффективности

на каждом

этапе ,

то для решения опти­

мальной задачи может быть

применен

м е т о д

д и н а м

и ч е -

42

ск о р о п р о г p a ' i i и и р о в а в i я ,

Предположим, что в нашем распоряжении находится какое-то ко­ личество ресурса X (мощностей, денег,людей, топлива и т .д . ) , которое можно использовать Ц различными способами. Каждому спо­ собу соответствует функция полезности ( X t ) , выражающая до­ ход (прибыль, рентабельность) от этого способа. Общий доход явля­ ется суммой доходов от использования каждого способа

 

 

 

ЦН(Х1

 

• • + Ч п ( Х п ) } .

(3 -1 6 )

Оптимизация сводится к нахождению

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

max U„(x)*ijnazLL 4L(Х*)3=/„ (х)

 

(3 -1 7 )

при условиях

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = X r ^ t * - . . * X n , .

 

(3 -1 8 )

 

 

 

Х , * 0 , Х2М ),...Х ^ 0 .

 

Очевидно,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3 -1 9 )

 

Получим систему рекуррентных соотношений ( в которой последую­

щие

соотношения зависят от

предыдущих),

связывающих

j K 0 0

и

 

/к„

(X)

. Пусть

Х к -

количество

ресурса, используемого К'

-

опособом.

Для остальных (

) способов остается

( Х ~ Х К )

ре­

сурса. Так как оставшимся ресурс»» необходимо распорядиться ваи -

лучшим образом, то доход от него

составит

j

(

X _ Х К

) ,

а Хк

нужно выбрать

так,

чтобы максимизировать

суммарный доход от

К -о го

и от первых

(

К-<

) способов,

т .е .

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3 -г о )

для

К = 2 , 3 , . . . , И .. *

 

 

 

 

 

 

При выводе

этих

рекуррентных соотношений

использовался

п р и н ­

ц и п о п т и м а л ь н о с т и ,

который утверждает, что

если не

выбирается наилучшее решение в данный момент,

то

последствия это­

го нельзя исправить

в будущем,или что для любого

первоначального

состояния и этапа решения последующие решения должны быть опти - мальныыи по отношению к состоянию, к которому пришли в результате • начального решения.Этот очевидпый факт впервые в явном веде сфор­ мулирован в [гб]- : " Оптимальные управления обладают та» свойст­ вом, что каково бы ни было начальное состояние и начальное управ­ ление, последующее управление должно быть оптимальным по отноше-

43

нив к состоянию, подучающемуся б результате действия начального

управления " . Здесь у п р а в л е н и е - решение

по распре­

делению

и перераспределению

средств (ресурса) . о п т и м а л ь ­

н о е

у п р а в л е н и е

- управление, при котором

критерий

эффективности всей операции достигает максимума. Таким образом, метод динамического программирования сводится к определению оптимальных решений с учетом ограничений на каждом этапе опера­

ции. Основная идея метода - свести решение одной

сложной задачи

к решению нескольких, во более простых задач.

 

истоды в а р и а ц и о н н о г о исчисления

используются

в том случае, если критерий оптимальности представляется в виде

функционала. Если М

- множество

функций и к каждой функции lf(X )

принадлежащей

M W )0 € M )

, относится

определенное число

, то

говорят, что на множестве-

М

задан

функционал [2 7 ] .

Вариа­

ционное исчисление устанавливает

условия,

при которых функциона­

лы достигают своего

экстремума.

Решение

оптимальной задачи

по -

лучается не в виде совокупности значений конечного числа перемен­

ных, а как совокупность функций,

в щ которых

заранее

не

известен.

Пример задачи вариационного

исчисления -

задача о брахмсто -

хроие. В вертикальной плоскости

даны две точки 0

и &

(рис.

3 - 4 ) , По какой линии должна

скатиться тяжелая материальная

точ­

 

ка, оставаясь в этой плоскости, из

 

верхней точки в нижнюю за наимень­

 

шее время, Задача сводится к отыс-

 

каниюш минимума функционала

 

 

t . f j& g x f

fa .

 

 

В общем случае функционал представ­

 

ляется в виде

 

 

 

,Хг

 

 

 

 

3 ^ ) = )

F fX .lj.ip d X ,

(3 -2 1 )

 

гд е , р(Х,Ц 1 “

заданная функция

пере­

 

менных ЗС®

и

, a I J ( lj') -есть

 

функции независимой переменной X .

Рис. 3 -4

На неизвестные,

искомые функ­

ции, как и на функции классического анализа , могут быть наложе­ ны ограничения, чаще всего в форме дифференциальных уравнений.

Еоли какая-либо операция описывается системой нелинейных обык­ новенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных произ­ водных, то для оптимизации может быть применен п р и н ц и п

44

Смотрите также файлы