Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.07.2024
Просмотров: 151
Скачиваний: 0
АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ С С Р
ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
Д. П. НИЖНИК
ОБРАТНАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ
Издательство |
"Наукова думка" |
Киев |
- 1 9 7 3 |
УДК 5 1 7 . 9 4 8 , |
5 1 9 . 5 5 |
|
|
|
Монография |
содержит оригинальные |
исследования |
а в т о |
|
ра по обратным |
|
нестационарным задачам |
рассеяния. |
В р а |
боте дано полное описание операторов рассеяния и постро
ен алгоритм восстановления нестационарного потенциала по
известному оператору рассеяния. Разработанный математиче
ский аппарат может найти применение в смежных вопросах.
Книга рассчитана на научных работников в области м а
тематики и теоретической физики, интересующихся теорией
рассеяния, она доступна также аспирантам и студентам с т а р
ших курсов.
Ответственный редактор
|
академик АН УССР Ю.А.МИТРОПОЛЬОКИЙ |
|
Рецензенты: |
член-корр.АН УССР |
|
|
|
Ю.М.ББРЕЗА НСКИЙ , |
|
|
кандидат фнз.-мат.наук |
|
|
А.Ф.ШЕСТОПАЛ |
^ ) |
Институт |
математики АН УССР, 1 9 7 3 г . |
.. |
0 2 2 3 - 5 9 1 |
|
|
М 2 2 1 ( 0 4 ) - 7 3 |
|
|
. |
"ГОС. ПУБЛИЧНАЯ |
1 НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКАЯ _БИБЛИОТЕКА С С С Р
n-uwi
П Р Е Д И С Л О В И Е
Настоящая работа посвящена прямой и обратной задачам нестационарного рассеяния для одномерных гиперболических
уравнений. |
Выбор гиперболических уравнений и систем о б у с |
||
ловлен тем, |
что в с е релятивистские уравнения |
в квантовой |
|
механике являются гиперболическими. С другой |
стороны, |
г и |
|
перболические уравнения описывают различные |
волновые |
про |
|
цессы, и поэтому полученные результаты могут найти приме
нения в |
нестационарных задачах |
дифракции. |
|
В |
то время, как стационарные задачи |
рассеяния (прямые |
|
и обратные) і в настоящее время |
достаточно |
полно изучены, по |
|
существенно нестационарным задачам почти не имеется стро— .
гих математических работ, з а исключением |
работ автора ^i—lOJ, |
Теория рассеяния в настоящее время |
является, по с у щ е с т |
ву, самостоятельной областью теоретической и математической физики. Строгий подход к решению ряда проблем квантовомеха— нической теории рассеяния привел к созданию абстрактной т е о рии рассеяния, включающей теорию возмущеїшй на непрерывном
спектре, |
а также нестационарный и стационарный подход |
к п о с т |
|
роению |
волновых операторов |
и операторов рассеяния. |
|
С |
другой стороны, для |
ряда конкретных задач была |
изуче |
на |
обратная задача квантовой теории рассеяния • задача о всю» |
||
становлении потенциала по известным данным рассеяния. Для |
|||
одномерного уравнения Шредингера на полуоси |
эта задача реше |
||
на |
в 1 9 5 5 г, |
В.А.Марченко и М.Г.Крейном. |
|
|
Следует |
отметить, что в последнее время |
решению рааляч* |
ных обратных задач уделяется большое внимание. При этом под обратными задачами принято ПОНИМАТЬ эпдачи опредолення коэффициентов дифференциальных уравнений но некоторым
известным функционалам от его решения. Ряд |
результатов |
||
по обратной кинематической задачо сеі'ісмикп, |
геофизики, г р а |
||
витационной и магнитной разведки имеется в |
[ l і] . |
||
Подход к обратной |
задаче в настоящей |
работе близок к |
|
подходу В.А.Марченко |
[1] . Разработанный |
математический |
|
аппарат может найти применение при решении нерассмотрен ных еще нестационарных задач, а также в смежных вопросах.
Излагаемые |
результаты обсуждались |
с ІП.М. Березонек им, |
|
В.А.Марченко и М.Г.Крейном. Автор, пользуясь случаем, |
в ы |
||
ражает им в с е м |
искреннюю благодарность |
з а высказанные |
з а |
мечания, которые были учтены при оформлении настоящей |
р а |
||
боты. |
|
|
|
ВВ И Д Е Н И Е
Втеории рпссеяння важным понятием является оператор рассеяния. Этот оператор определяется путем сопоставления решений свободного н возмущенного уравнений. Для нестаци онарных уравнений оператор рассеяния обычно определяется как оператор, связывающий данные Коти двух решений невоэ— мушенного уравнения, каждое из которых асимптотически при ближает решение возмущенного уравнения соответственно при
t=-°° и / = . Однако в ряде случаев можно дать э к вивалентное определение оператора рассеяния путем сравнения
асимптотик |
решения |
при больших |
значениях пространственных |
||
переменных. |
|
|
|
|
|
Так, например, |
для гиперболической системы уравнений |
||||
ди.1 |
ди |
|
|
|
|
= |
+c^x,t)u.Лот |
J.) |
, |
||
dt |
дл |
|
|
|
( 1 ) |
диг |
dut |
|
|
|
|
= |
~ |
*-CtX,t~iU.^CX.t) |
-ста< д; <. оо |
||
dt |
дх |
2 |
' |
' .,. |
|
оператор рассеяния можйо определить следующим о б р а з о м . К о
ли |
потенциал |
( ci(acit) |
t |
cg(x,tj) |
|
достаточно быстро |
убывает |
||||
при |
сс -*• І м |
, то естественно, |
что при >г-> А о» |
и придт--»- |
|||||||
решение ( 1 ) асимптотически имеют |
вид решений |
невозмушен- |
|||||||||
ной |
(cf-=0 |
, |
Cz=.0 |
|
) |
системы |
уравнений, т . е . |
|
|||
|
ur(x,t)-af(jr |
|
+ t) + |
0(1), |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 3 ) |
|
ya2(at,t)- |
a2(i-sc)+ |
|
0(0, |
,x |
|
|
|
|
||
Функции ar(xJt) |
\\ag(t~\) |
в ( 2 ) - ( 3 ) имеют |
смысл волн, прив |
||||||||
ходящих с |
бесконечности, |
а §,(м-{) |
п & (t-x) |
- |
уходящих п |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a,(s) |
|
|
бесконечность. Другими слонами, паря |
функции I „ |
,5.)(••><> ts<f*>) |
|||||||||||
сіатор, |
переводящий |
(af |
\ i\ |
(&і |
iS |
опродгчяетгя |
как |
||||||
рассеянуто |
волну. |
і т е р а т о р |
рассеяния |
||||||||||
OtlGpi |
|
|
ГНИ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если потенциал в ( 1 ) |
достаточно быстро |
убывает |
и по |
пере |
|||||||||
менной |
t |
|
при |
і^+^а |
, |
то |
оказывается, |
что |
оператор р а с |
||||
сеяния |
б1 |
|
представим в виде |
суммы |
тождественного |
о п е р а |
|||||||
тора и интегрального |
оператора |
|
Гильберта-Шмидта. |
|
|||||||||
Более |
точное описание |
структуры |
оператора |
рассеяния |
|||||||||
получается |
|
с привлечением |
операторов |
преобразования, |
Под |
||||||||
операторами |
преобразования |
для |
системы |
( 1 ) |
мы |
понимаем |
|||||||
операторные функции, переводящие решение свободного урапнення в решение возмущенного, асимптотически совпадающие на "бесконечности' . При этом возникают четыре типа опера
торов преобразования в зависимости от |
того, |
что понимать |
||||||||
под |
" б е с к о н е ч н о с т ь ю * а : - » - - 0 0 |
, |
г!-—-°° |
или |
г'-^ + оо . |
|||||
|
Приведем |
вид операторов |
преобразования системы |
(J.) |
||||||
для |
i £ - » - » о |
. Решение |
невозмущенной |
системы имеет |
вид |
|||||
Решение |
возмущенной |
системы, |
которое |
при і |
|
имеет |
||||
асимптотику |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ut(x,t) |
= a,(x*-t) + 0(O |
, |
(^(x,t)^cL2(i-.r) |
|
t-ff(f) |
) |
(G) |
|||
представимо в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- оо |
|
|
|
|
|
|
|
В операторной |
форме |
( 7 ) |
принимает |
вид |
|
||
|
u(x,£) |
= (I+H+lx»%.a(t) |
|
. |
( 8 ) |
||
Использование |
операторов преобразования для ^->-/-«э |
деет |
|||||
|
u(xyt)-(I+ |
H_(JC))^ |
S(t) |
, |
( 9 ) |
||
где £ = ^ |
' j |
определено |
из |
( 2 ) - ( 3 ) . |
|
||
Индексы |
и " - " в |
формулах |
( 8 ) - ( 9 ) обозначают полярность |
||||
вольтерровских операторов. Плюс означает, что соответствую щий вольтерровский интегральный оператор имеет переменный верхний предел, а минуспеременный нижний предел. Следует
стметить, |
VTO матричные интегральные операторы Н+(ж)яв |
|||||
ляются операторами Гильберта-Шмидта |
и очень |
просто |
связаны |
|||
с потенциалом |
|
|
|
|
|
|
c,(.x,t)=ZHn(x,t.t) |
cgij:,t)=2H^CT,£,ty |
|
( Ю ) |
|||
Приравнивая ( 8 ) и ( 9 ) , полагая |
не-О |
и учитывая |
опреде |
|||
ления (4) |
оператора |
рассеяния, |
п о у ч а е м |
|
|
|
|
6 - |
( 2 > Н_ (0)У |
\l , |
//_ (О)), |
|
(.11) |
т . е . , так называемую, |
левую факторизацию & . |
Использование |
||||
операторов преобразования для . т ± » приводит к правой фак торизации
Таким образом, оператор рассеяния двусторонне факторизуем. Праводчпці-ifi р настоящий рябого анализ впкрывярт фтпп-
