Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf

111. Оператор

сдвиге

'lа

Та/(х)

= f(x*a)

.

( 1 . 5 )

1 У. Оператор

отражения .7

(JF)(*)=f(-.v).

( 1 . 6 )

K^f(ar.\=J

Л + (sr.s)f(s)ds

,

(J..7)

-

ОО

где ядро

A ' ^ f ^ v S )

при фиксированных

л

ч S

является

о п е ­

ратором

в /V .

V I .

ІЗольтерроискнй оператор с переменным нижним

пре­

делом будем снабжать

индексом

"минус"

К_ f(X)

=

к_ (,Vy Й > /'бг;

,

( 1 . 8 )

l'.v

здесь

K_(&.s)

~

ядро

оператора

^ _

Очевидно, что каждый

интегральный

оператор А с

ядром

Л (а:, а ) однозначно

представим

в виде

суммы

вольтерровскнх

слагаемые будем

обозначать

А+ и А _ соответственно, т . е .

А = А у

+ А _ .

Рассмотрим

теперь простейшие свойства операторов

1 - У Г . Связь между проекторами

Р^ и ^ дается равенства ­

ми:

з - ' - * * *

.

( 1 . 9 )

Р Р — Р • Р - Р

Q • О = /?

и

- л

( 1 . 1 1 )

^ = J r - a •

( 1 - 1 2 )

Г: ассмотрнм также

с в я з ь

между

вольтерровскимн

о п е ­

раторами.

Пусть

заданы операторы

ДГ+

,

/Г_ ,

R'

,

R_

Тогда, если

существуют

указанные

операторы,

то

ним пределом,

а

К .

.

U + * _ > " ' - І

( 1 Л Ь )

(A_ RJ+ (x,s) = \ K_ (je,t) R^Ct.s)

dt,

В с е

приведенные

выше свойства непосредственно

с л е ­

дуют

из

определений,

поэтому

их

доказательства

не приво­

дятся.

Для

простоты в

дальнейшем

ограничимся рассмотрени­

ем только интегральных операторов, являющихся

оператора­

ми Гильберта-Шмидта.

В частности, если интегральный

о п е ­

ратор

+ 00

K(x,s)fCs')Cis

( 1 . 1 7 )

-ВО

является

оператором Гильберта-Шмидта , в bg(-°°,

+ °°-t

/\f) t

то

j

\K(x,s)\Sdxds<+

•*> ,

( 1 . 1 8 )

где

\K(x,s)\

— обозначает

норму оператора

K(~x,e~i

в /V.

Л е м м а

1 . 1 .

Пусть К+

к

К_ —вольтерровские интег ­

ральные операторы, являющиеся операторами

Гильберта—Шмид­

та . Тогда существуют операторы (I-f-K^)

'

,

и

( 1 . 1 9 )

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как операторы Kt и

А_

_

вполне непрерывны, то для

существования ('/> Л', ) и

И

і К)

нения имеют только тривиальные решения. Рассмотрим

одно

из

этих

уравнений

f(x)i-

К

(a~,x)f(s)ds

-

О.

(:1 . 2d

Из

( 1 . 1 8 )

легко получаем

существование

такого -Х„ ,

что

dec

\

dsS I

K(jc,s)\Z

( 1 . 2 1

ІГз

( 1 . 2 0 )

имеем

"

\f(jc)\Zdjz

<:

\

da:

/С+ (лг,.5)||Л^;|

dj

-оо

ж .

cLx

\K+(a:f*)\Zds

| ^ ) | ^ .

5 .

( 1 . 2 2 )

Учитывая

( 1 . 2 1 ) ,

получаем

из

( 1 . 2 2 ) ,

что

f(ay) = 0

при

^

* а: 0

. С другой стороны, если

f(&)

решение

( 1 . 2 0 )

и

f(x)

= 0

при Ж

а.

, то из

( 1 . 2 0 ) получаем

of а:

o r « | * ( * , . s ) |

\f(s)fds

.

'д.

( 1 . 2 3 )

Из ( 1 . 1 8 )

следует

существование

$~0 такого,

что при лю -

Г

4<к\

ds\K(jc,s)\

<- .

( 1 . 2 4 )

Тогда

из

( 1 . 2 3 ) делаем вьишд, что

f(x~)~0

при X£ а ч-с?е,.

Учитывая,

что

при

-ж ^ сс0 ,

f(x)=0

, поэтому

fCoct^O

и при

сс і

х0+

гРа

. В силу

независимости

^

от

о.

,

повторяя этот

процесс, получаем, что f(-oc)^=0

. Таким

о б ­

разом,

существование (£ + К^.)~/

доказано. Обозначая

#

=. (Г + К +

-

I

( с м .

1 . 1 4 ) ,

легко получить,

что

т.е.

является

произведением ограниченного

оператора

( I

+ К+У*

на

К+ - оператор

Г . - Ш, а

значит

, и

сам является оператором Г . - Ш .

Лемма

доказана.

Замечание к лемме 1 . 1 . Учитывая, что

при любом \Z

операторы

Кf

2,

< получаемые из вольтерровского

операто­

ра К+

с переменным верхним пределом путем домножения

слева,

справа

или с

обеих сторон на

или

являются

лом,

а

аналогичные

операторы

^_,Л

— вольтерровскими

с переменным нижним пределом, на основании леммы

1 . 1

делаем

вывод,

что при условии,

что Х+

и

К_ - и н т е г р а л ь ­

ные вольтерровскне операторы Гильберта-Шмидта,

с у щ е с т в у ­

ют операторы

([+ К+ jy'-I

+ R+U), (i+K_t2T'=I

+ £_(Л),

( 1 . 2 5 )

где

R+

(Л) ,

R_ (£)

_ вольтерровскне операторы

Г . - Ш . с о ­

ответственно с переменным верхним и нижним пределами,

ядра

которых допускают равномерную по

<2

оценку

+ °о

k*(£,s)dtds<

+ оо .

( 1 . 2 6 )

При

этом, если

- 0 0

([+К+У'=1+К+

,

( 1 . 2 7 )

НАУЧНО-ТСХІ Н-ІЧЕСЙАі

і- • і г- піЛі-\-гт / л

r<tn