Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf

( 4 . 5 1 )

V(x,t>=

4.

c2(-x,ir)

,

x<o.

4 . Случай возмущенного уравнения струны на полуоси

Задача

рассеяния

для уравнения

дг

д г

1

( 4 . 5 2 )

+ сіх,Щи(х,і)-0,

u(0,t)=0,

0&х< + °° ,

dt2

дх*

'

]

может

быть истолкована согласно общей с х е м е п . 1 .

Действительно, рассмотрим

невозмущенное уравнение

—

-

— =

0 ,

u(0,t)

= 0,

0±х<

+ ~> .

( 4 . 5 3 )

at

дхг

г

f£(x)]

I

г

2 dx->

fdx)\

dx\

( 4 , 5 4 )

"О

Рассмотрим

задачу

Коши для ( 4 . 5 3 )

с начальными у с ­

ловиями при і - О і

U(x,0)=ff(x)

,

( 4 . 5 5 )

ди

(X,0) = f

(X).

( 4 . 5 6 )

dt

Решение

такой задачи

имеет вид

( 4 . 5 8 )

Легко

Показать, что

4

2

+ р °

l a

\a(x.)\z

cix

-

Z

( 4 . 5 9 )

И

Рассмотрим полугруппу операторов

U0U0)

,

переводящую

данные

Кошп

(ft)

П Р И

£~0

в данные

Коши

решения

и(Я,{)

при *•

t = t a .

Обозначим

( 4 . 6 0 )

Тогда

из

( 4 . 5 7 ) ,

получим

gf

(х)=а(

to+x)

- a

(t0-a:)^

(4.63)

дг(х)

~CL'(tg + x)-a'(tB~x.)

,

т . е .

полугруппа Zl0

(І)

является

унитарной

в Й

Переходя

согласно

( 4 . 5 8 )

о т / ^ ' J

к функции Д.^ (л^лег—

ко

с учаем

\&е)

'

получ£

И

= a(x

+ t„)=7r.

alt).

( 4 . 6 2 )

Таким

образом^ отобра

е

•ображение

с о г л а с но

( 4 . 5 9 )

является изометрическим; обратное

о т о б ­

ражение

имеет

вид

/ f4

Iа(х}

-

а(-л)\

\№1

( 4 . 6 4 )

В с е

гильбертово

пространство Н

отображается

3

в

Le(-°a

, + ° о )

,а

полугруппа

Ua(t)

при этом

переходит

в простой

сдвиг.

Т е м

с а м ы м построено

трансляционное

пред­

ставление

110

it) .

Оператор рассеяния

«5> , рассмотренный в .гл.Ill, является

обычным

оператором

рассеяния в

трансляционном

представле ­

нии. Е г о

с в я з ь

с

оператором рассеяния

дает

унитарный

оператор

&

•Cfx,tJ ,

*<0.