Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.07.2024
Просмотров: 152
Скачиваний: 0
ческую сущность факторнзуемостн оператора рассеяния. Фак—
торизуемость |
оператора рассеяния |
выражает собой фпзпче |
- |
||
скую причинность для системы ( 1.), |
связанную с конечной |
|
|||
скоростью распространения волн. |
|
|
|
||
Операторы преобразования являются очень важным про |
|||||
межуточным звеном между нестационарным потешчгалом и |
|
||||
оператором рассеяния. |
11х использование |
позволило р а с с м о |
|||
треть обратную |
задачу, |
заключающуюся |
в восстановлении |
н е |
|
стационарного потенциала по известному оператору рассеянии
Это восстановление проведено следующим образом. |
Из |
(1.1) |
|||||
легко найти по |
& |
факторнзацнонные множители |
Н+ |
(0) |
|||
используя теорию М.Г.КреЙна факторизации фреягольмовых |
|||||||
операторов [ 2 ] |
. Тогда, |
согласно |
( 1 0 ) , |
восстанавливается |
|||
нестационарный |
потенциал |
лишь в |
начале |
координат |
( cf(0,O , |
||
Се(0,t) |
) , поэтому естественно |
наряду с исходной задачей |
||
( ] ) |
рассмотреть задачу рассеяния |
со сдвинутым потенциалом, |
||
ибо, |
зная, в |
начале координат сдвинутый потенциал при всех |
||
сдвигах, |
мы |
фактически будем знать потенциал при в с е х -х- |
||
и |
і |
|
|
|
Совершенно ясно, что задача рассеяния со сдвинутым
потенциалом |
для ( 1 ) очень |
тесно |
связана с исходной задачей. |
|||
В частности, |
оператор рассеяния |
задачи |
со сдвинутым |
|||
на -х. потенциалом получается из |
исходного |
при |
помощи |
уни |
||
тарного преобразования & х |
, являющегося |
унитарным |
пред |
|||
ставлением группы сдвига. Этот факт выражает собой принцип
ковариантности для системы (1 ) . Таким |
образом, |
используя |
||
принцип ковариантности.легко найти по б |
оператор |
рассеяния |
||
задачи со сдвинутым потенциалом, а,следовательно, и сам |
||||
сдвинутый потенциал в начале координат. |
Так |
решается |
обрат |
|
ная задача . |
|
|
|
|
Однако в обратной задаче очень важным |
является |
также |
||
полное описание операторов рассеяния, т . е . установления необ ходимых и достаточных условий того,что заданный оператор является оператором рассеяния. 1ак как вся вышеприведенная конструкция справедлива для потенциалов, достаточно быстро
убьтяюнч'х по |
ж |
п г1 |
, то |
е с і р с і в е ч н о |
выделять |
класс |
о п е |
||
раторов |
рассеяния |
. соотв°тстйуиччнх |
потенциалам |
с фиксиро- |
|||||
ппчнт'і |
пцг-нкт) |
убып-чнт'п |
по |
н / |
мл |
бесконечности. |
-^ГО |
||
д
приводит к определенным оценкам убывания ядер интеграль—• пых операторов 6-І и 6 - Г , являющихся операторами Гиль берта-Шмидта.
Основной результат заключается в том, что указанные оценки, приншш ковариантности и причинности (или факторизуемостн) являются определяющими для операторов рассеяния. Более точно, если f - заданный оператор, ядра операторов
иgF -I удовлетворяют нужным оценкам, а при любом
оператор J^. р У_ х |
нужным образом |
факторнзуем, то f |
есть оператор рассеяния |
для системы ( 1 ) |
с потенциалом,до |
пускающим принятую оценку. Указанный результат легко пере формулировать в терминах тривиальной разрешимости некото рых однородных фредгольмовых уравнений, зависящих от па -
раметров -з? и г? и |
построенных |
по /* . |
Отметим, что |
при получении |
указанного результата в а ж |
но знать точную трансформацию оценок убывания потенциала в
оценки убывания ядер 6-І |
и |
6 ' 1 - 1 |
. |
Грубые оценки |
ядер |
|||||
6-І |
п )5~г-1 , как |
известно, |
|
приводят |
к |
возникновению |
"нож |
|||
ниц*, когда операторы рассеяния, удовлетворяющие грубым |
||||||||||
оценкам, могут соответствовать потенциалам |
из более широко |
|||||||||
го |
класса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так обстоит дело с обратной задачей рассеяния на всей |
|||||||||
оси. Задача рассеяния на полуоси исследуется |
. в |
основном, |
||||||||
по |
приведенной выше схеме . |
Однако з д е с ь |
имеется |
одно |
в а ж |
|||||
ное |
обстоятельство, |
связанное |
с принципом |
ковариантности. |
||||||
На всей оси сдвиг потенциала приводит к унитарной трансфор мации оператора рассеяния. Сдвиг потенциала на полуоси м о жет привести к тому, что часть потенциала попадет в нефизи
ческую область. |
Поэтому |
на |
по;гуоси с в я з ь |
оператора |
р а с с е |
||||||||||
яния |
і? (ж) |
, соответствующего |
сдвинутому |
на sc |
потенциалу, |
||||||||||
с |
исходным |
оператором |
$ |
бопее сложная. Эта |
с в я з ь |
приводит |
|||||||||
к |
тому, что |
через |
iS1 |
можно |
выразить |
лишь |
"отрицательную* |
||||||||
вопьтерровскую |
срезку |
|
<5>(я^)-1 |
и 'положительную' |
вольтер - |
||||||||||
ровскую срезку |
6 |
(.х)-Т |
|
. Однако в силу двусторонней фактов |
|||||||||||
риэуемости оператора рассеяния ( и это существенно ! ) , по |
|||||||||||||||
указанной информации |
( |
[ ( 5 ' ( ' л ) - Г ] _ т |
~f(,-ry - |
/'J^ |
) |
можно |
|||||||||
восстановить |
f> (ж). |
Далее |
в г ° |
происходит, |
как |
и в |
задач» на |
||||||||
всей |
осп. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р
Перейдем теперь к краткой характеристике содержании работы.
Первая глава посвящена факторисашіи фредгольмовых операторов. Здесь излагаются с доказательством основные результаты М.Г.Крейна по факторизации фредгольмовых опе раторов. Важное место отведено двусторонне факторизувмым операторам. Отмечается, что понятие двусторонней фактори—
зуемостн важно |
даже в |
матричном |
случае |
и может |
привести |
||||||||||
к ряду |
новых содержательных |
результатов. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Во второй главе рассмотрена прямая |
и обратная |
н е с т а |
||||||||||||
ционарная задача |
рассеяния |
для гиперболической |
системы |
( 1 ) |
|||||||||||
как |
на |
всей |
оси, |
так и |
на |
полуоси. |
Обычно в м е с т о |
системы |
|||||||
( 1 ) |
рассматривают |
систему вида |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
дф |
- 6 |
дф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і — |
— |
h Vtfi , |
|
|
|
|
|
( 1 3 ) |
||
|
г- |
1° |
М |
|
dt |
|
dec |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
Ь |
= | |
0 ] |
|
. Это, так |
называемая, |
двухкомпонентная |
||||||||
система уравнений |
Дирака. |
Однако, |
как |
легко видеть, |
простая |
||||||||||
замена |
^ = | ^ - ^ ) |
и. |
|
сводит |
( 1 3 ) |
к |
( 1 ) . |
Наряду |
с |
и з |
|||||
ложением общего алгоритма решения обратной задачи в § 2 рассмотрены различные примеры, в частности, очень важный
случай |
кососимметрнческого ( cf(oc,£) |
=-cg (л, |
і ) |
) по |
||||
тенциала, |
приводящего к |
унитарному |
оператору |
рассеяния. |
||||
В третьей |
г паче |
изучается прямая и обратная нестацио |
||||||
нарная |
задача |
рассеяния |
на полуоси |
для возмущенного |
урав |
|||
нения |
струны |
|
|
|
|
|
|
|
д'и |
д*и |
|
|
|
|
|
|
|
jj-2 - |
~ г |
+ с{л,і)и. |
= 0, |
u(O,t)=0, |
Oix< |
+ °o . |
( 1 4 ) |
|
Строгая постановка задачи рассеяния сформулирована с при влечением нестационарных условий излучение Фока, являю щихся обобщением условий излучения Зоммерфельда. Следует отмстить, что в стационарном случае, когда возмущение л о кализовано в конечной области, теория рассеяния для волно
вых уравнений подробно изучена П.Даксом |
и Р.Филлипсом [З] . |
Обратная задача для уравнения (1.4) |
изучается анало |
гично случаю гиперболической системы ( 1 ) |
на полуоси. В а ж |
ным при атом является свойство двусторонней Факторизации операторе рассеяния пля задачи (Л А).
1 D
И четвертой главе дается полное описание операторов рассеяния нестационарных задач рассеяния, рассмотренных в главе П. Здесь в § 1 подробно научается принцип ковари
антности и |
принцип причинности |
и е г о |
с в я з ь |
с фактори- |
||||
эуемостыо оператора рассеяния. Так как используемое в |
||||||||
настоящей |
работе |
определение |
оператора |
рассеяния несколь |
||||
ко отличается от определения, даваемого формализмом |
а б с т |
|||||||
рактной теории рассеяния, |
т о в |
9 |
4 проводится |
сравнение |
||||
этих определений. |
Оба определения |
приводят к |
унитарно |
э к |
||||
вивалентным операторам. |
Оператор |
рассеяния, принятый |
в |
|||||
настоящей |
работе, |
с о о т в е т с т в у е т |
абстрактному |
оператору |
||||
рассеяния в |
трансляционном представлении |
невозмушенного |
||||||
уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г Л А В А |
1 |
|
|
|
ФАКТОРИЗАЦИЯ |
ОПЕРАТОРОВ |
|
||
Факторизация операторов |
играет |
важную роль |
в р е |
|
шении обратной задачи теории рассеяния, |
В |
настоящей |
главе |
|
излагаются результаты М.Г.Крейна |
[ 2 ] по |
факторизации |
||
фредголймовых операторов и, повицнмому, ряд новых резуль татов по свойствам операторов, допускающих двустороннюю факторизацию.
9 1 . Определение и простейшие |
свойства |
некоторых |
||||||||||
|
операторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим гильбертово пространство N и совокупность |
||||||||||||
векторнозначных |
функций |
fiat) |
, определенных |
на |
всей |
оси |
||||||
- о о < . * - < + с т о |
со |
значениями в |
N |
|
, для |
которых |
|
|||||
|
f |
СЮ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
\f(x)\'da:< |
+ °° . |
|
|
|
|
|
( 1 . 1 ) |
|||
|
—оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Совокупность |
в с е х |
таких функций |
fc-x) |
образует |
гильбертово |
|||||||
пространство |
|
(- |
<*>, + со ; /V _) |
|
|
со скалярным произве |
||||||
дением |
|
|
+ тс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(f,$)= |
j |
f(ec)-g(x)afx, |
|
|
|
|
|
( 1 . 2 ) |
|||
где при фиксированном |
х. |
f(X)-д(сс) обозначает |
скалярное |
|||||||||
произведение |
в Л? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В пространстве bg(-°аг |
+оо-ъ |
N) |
рассмотрим |
такие |
опера |
|||||||
торы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 . Оператор |
Pj[ |
проектирования |
на полуось |
~r>J |
. |
|||||||
f!>f(a:)=e(x-J)/,(x)=. |
|
<| |
|
|
.если |
JC>J. |
|
(1..Я) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
О |
|
, если .г-і Л |
, |
|
||
1!. Оператор |
Qj^ |
проектіфования |
на полуось X < |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
О |
|
.если |
.т>„? |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
г . |
, |
если |
? |
|
|
( 1 - 4 ) |
|
|
|
|
|
/(•т.) |
. г < . / |
|
|
||||
