Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf

Пусть

где

uix,t)

решение

задачи

Коши ( 4 . 2 2 ) - ( 4 . 2 3 ) ,

д о с т а ­

точно быстро

убывает

по

норме

|| • ||

при

+\t\->oo .

Тогда решение

u(ct,t)

уравнения ( 4 . 2 2 )

можно в ы ­

разить через

р(-т,£)

по

формулам

u(X,t)

=

u(JC + £>0)A

p(jc-tt-V,t)d.€r

( 4 . 2 4 )

U{3c,t)

=

u(0,x

+ t)-

\p(y,x+t-y)d<[j.

( 4 . 2 5 )

о

Из формул ( 4 . 2 1)

и

( 4 . 2 5 )

получаем

асимптотику

u(x,£)-u(xf-t,0)-f-

pbc+t-T&ctt+Oa),

£-* + <*>;

( 4 . 2 6 )

°0

р(Х^-£-1Г,Г)с£т+0(П,

£-*-<*>;

(4.21)

ю

U(X,t)

= U(O,xH)-\p(uxf-t-y)dy

+ 0«),

гс-±+°°;

( 4 . 2 8 )

Ґ

,«

w

,

( 4 . 2 Я )

а(я,і)

= и(0,зг+і)і.\р(у,з;*t-y)dy

+ ОН),

л

Согласно

определению-оператора рассеяния

О

и

(-1,0)

+

p(s-T,ridf\

= ute,0)

-t- jp(j-rX)dT.

( 4 . 3 0 )

О

С npyroll

стороны,

из

( 4 . 2 4 ) ,

полагая

.Т.-О,

£~.п

,

имеем

-.s

u(0,s) = u(s,P) t p(s-ryT)d€.

(ЛЯХ)

( 4 . 3 5 )

Операторы

M+

будем называть операторами преобразо ­

вания. Эти операторы

играют большую роль при решении

о б ­

ратной задачи восстановления

V(t)

по

$

2 . Случай гиперболической системы

Гиперболическая

система

уравнений,

которая

изучалась

в

§ 1 г л . I I , м о ж е т быть записана

в

виде

( 4 . 1 ) ,

( 4 . 2 ) , если

в

качестве

Н в з я т ь

/>^(-00, + оо j

Ег) . Операторы

А0

и

V(t)

имеют вид

ах

О

\

А

= i\

--/

( 4 . 3 6 )

дх

/

О

Cflx,t)\

( 4 . 3 7 )

^(x,t)

О

Рассмотрим

трансляционное

представление

Ua(t)

Для этог о введем унитарный оператор в Lt

f-«>) + "°;

Е е )

В=\^

J

,

( 4 . 3 8 )

где 3 — оператор отражения (tff)(t)— f(~t)

.

I - т о ж ­

дественный

оператор.

Тогда исходная система примят вид

ди

ди

/

—V(flu

( 4 . 3 Q )

—

=

4-

dt

дге

і

где

7

r/xS)j/uf(-xJ)

/ .

( - 1 . 40)

\r/x,t)

(1 і \u9i

rrj))

Оператор

рассеяния

$ ,

рассмотренный

в

В 1 г л . I I , я в ­

ляется оператором

рассеяния

в трансляционном

представлении

( 4 . 3 9 ) .

Оператор

«5*

и оператор рассеяния

р

,

определен­

ный в п. 1^являются

унитарно

эквивалентными,

а

оператор 3

осуществляет

эту эквивалентность. Таким образом Л

6 ^ 5 Г В Ч .

( 4 . 4 1 )

3. Случай гиперболической системы на по;гуоси

Рассмотрим задачу

рассеяния на полуоси х> О для гипер­

болической

системы

ди.

ди

luJx.tf

—

*d(x,t)u

,

и-\

J

( 4 . 4 2 )

dt

дх

у \ujx,t)

с граничным условием

14,(0,*)=

иг(0,і).

( 4 . 4 3 )

Эта задача

подробно изучена

в § 3 гл.П.

Рассмотрим гильбертово пространство И—L£(0,°°'•,

Е. )

двухкомпонентных

вектор-функций,определенных

и суммируемых

с квадратом

на полуоси

0^х^+"а

Рассмотрим задачу

Коши для невозмутенной

системы

ди

ди

Ъ=вТх

>

«,<W-

( 4 . 4 4 )

uf(x,0)

=

ff(x),

UgU,^)^

fg (P) .

Решение

этой

задачи

имеет вид

u.t(xj)^-a

(.ті

і >.

и^(хУ)-

a(f - г) ,