Файл: Нижник Л.П. Обратная нестационарная задача рассеяния.pdf

Г=\і+Нг,(0)~Ні+(0Ґ\і^Н^О)-Н2р)\.

( з . З І )

.Однако

оператор

рассеяния

_>

выражается

через

операторы

преобразования

точно

таким

ж е о б р а з о м ( с м ^ 3 . 1 б ) г л . ї ї ) . Но

тогда

/* = «3'

,

т . е . оператор

/*

е с т ь оператором

рассеяния

из

класса

/•S'/f

. Теорема

доказана.

П р и м е р .

Пусть К

интегральный оператор

в

Ь^-00,*00'1

по

норме

строго

меньший

1 . Если ядро К (t, £,) удовлетворя ­

ет

оценке

.

с

то

К

И Л

)

* 7 7 7 \ І w \ t - z i ) ' r c

операторы I + К

и

(І+КУ1

будут

операторами

рассеяния

задачи

( 3 . 1 ) - ( 3 . 2 ) .

_ f

Действительно, в этом случае существует

где £

интегральный оператор,

ядро которого согласно л е м ­

ме

2 . 5

гл . П удовлетворяет

оценке

\R

С

і

——

• , •

. Кроме

того,

оператор 1+ К

,

а,

следовательно, и

{1-і-К

У

допускает

двустороннюю

фак­

торизацию.

§

4 . Оператор рассеяния в нестационарной теории

рассеяния

Использованное в настоящей работе определение опера­

тора

рассеяния

несколько

отличается от определения д а в а е м о ­

г о

в

обшей

теории рассеяния

\) 2]

. Однако, как будет

покя*

зано ниже, оба эти определения совпадают с точностью до

унитарной

эквивалентности.

1 . Формализм абстрактной теории рассеяния

Рассмотрим в гильбертовом ттрпсгрянетвр уравнение ІПре-

дингеря

дір

i g f * * ' *

{ Л Л )

с

самосопряженным

опррчлорпц

Л

Р а с с м о т р им

также

возмущенное уравнение

і^=А(і)ф,

( 4 . 2 )

где

dt

AU)=Ag+VU).

( 4 . 3 )

Решение задачи Кошн для уравнении

( 4 . 1 )

и

( 4 . 2 )

с на ­

чальным

значением

прп і = О

ф(0)=ф„-

(

4 . 4

)

определяет операторы

Ualt)

и U(t)

равенствами

Фа)=идтір0,

( 4 . 5 )

ф(0

=

Ш*)фв

,

( 4 . 6 )

где

( 4 . 5 )

е с т ь

решение

уравнения

( 4 . 1 ) ,

а ( 4 . 6 )

-

решение

( 4 . 2 ) .

Волновые

операторы

в

теории

рассеяния

определяются

равенствами

W+ = £im

Vr4t)UeU).

( 4 , 7 )

Волновые операторы можно определить еше но другому.

Пусть

Іі.(і)ф0

- решение

возмущенного

уравнения

с начальны­

ми

данными

при t=0

ф(0)

= фд

,

Пусть существуют такие

элементы

ф+

,ф_еН

, что решение

задачи

Кошн

для

невоз—

муш-энного уравнения с начальными

данными при

t=0,

ф(0)

= ф.

(или

ф(0)~ф+

.

) при

£-->-с*>

(или соответственно

t

0 0 )

стремится к решению 21(£)фа

,

т . е .

\\иШфв-и„Шф.\\н-*0

,

;

( 4 . 8 )

\ \ и и ) ф 0

- и д и щ н + 0

,

t^>

+ ~ .

( 4 . 9 )

%Ф.

=

Фв,

( 4 . 1 0 )

КУ-^Ф,-

( 4 . 1 1 )

Оператор f,

переводящиА

ф„ в Ф+ ,носит

название

опера ­

тора

рассеяния

Ф+=ГФ--

( 4 . 1 2 )

Таким образом,

оператор

рассеяния

переводит

данные

Копій

ф_ - решения свободного уравнения, которое

при £-*—«>

с т р е ­

мится к решению возмущенного уравнения, в

данные Кошн

ф+

решения свободного уравнения,

стремящегося

к

решению

в о з ­

мущенного уравнения

при

£-^-ч-оо

. Оператор

рассеяния

с в я ­

зан

с волновыми

операторами

равенствами

f=XV7'W_

.-

( 4 . 1 3 ) -

В в е д е м волновые операторы, зависящие

от

в р е м е н и , р а в е н ­

ства мі:

WJte)=1l(te)W_

U-/Utt),

( 4 . 1 4 )

Wt (t„) = U ао)

W+

U01(to)

.

( 4 . 1 5 )

Учитывая, что UBl£)

и

U(i)

образуют

унитарную

полу­

группу, из ( 4 . 8 )

и ( 4 . 9 )

получаем

\\ишиив)фв-

li„(i)Ug(to)

ф±\\

=

:\\Ш{+{о)фо-ио({

+ і0)ф\\^0

,

і •-to" .

( 4 . 1 6 )

Но тогда из определения волновых операторов

( 4 Д 0 ) ,

( 4 . 1 1 )

имеем

%ивив)ф^иив)ф„

,

( 4 . 1 7 )