Файл: Качуринер Д.М. Теоретическая механика (краткий курс лекций) учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.07.2024

Просмотров: 100

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

где Wj

--

ускорение

точки}

ft.

-

активная

сила;

 

 

реакция связи.

По Даламберу назовем = двигательной силой.

Значит ускорение несвободно# точки пропорционально двигательной силе и направлено в ее направлении. Так как любой вектор мохно разложить по двум любым направ­

лениям,

то разлогим силу

7-

на две - одну

по

направ­

лению

, а другую по линии действия

Ni

(р я с . 127)

т .е .

 

 

-

 

 

 

 

г^р

 

 

 

 

 

 

 

)

 

P r - N i ,

 

 

 

 

Рі -

потерянная

сила.

 

Потерянные силы

 

 

 

 

системы в каждый мо­

 

 

 

 

мент времени ее дви­

 

 

 

 

жения уравновеиивают-

 

 

 

 

ся реакциями

связи .

 

 

 

 

Тогда

 

 

- (19)

 

 

 

 

=

 

(19)

Умножим правую и левую части равенства

иа

и просуммируем по

всем точкам

системы

 

 

 

14

209

Так как связи идеальные, то

и п о сл е д н е е

 

i *

i h

- o

 

 

і =/

 

примет в и д :

 

р а в е н с т в о

(20)

 

 

Ъ " А - Ъ ) ^ г °

или

 

І-і

 

 

 

 

 

 

= £

 

 

 

£ й -

ті щ

?і

[(х і ~ті * і )&х і +(ѵг тіу )

t

І -I

 

 

+ *(='? r mi ^ i ) ^ i ] = ° ■

' 20'/)

 

 

 

 

 

 

Выражение (20) - общее уравнение динамики.

§ б . Уравнения Лагранжа второго реда

Уравнения Лагранжа второго рода или просто уравне­ ния Лагранжа - это самые общие уравнения движения си­ стемы. Для вывода уравнений Лагранжа преобразуем общее уравнение динамики (20)

 

П

(20,А)

п

ѣ ( тг Щ - & і ) 3 ? г ° ’

 

уже была п р е о б р а з о в а н а

к обобщенным

210

координатам и получила вид:

пк

( 2 1 )

Преобразуем теперь первую с у ш у , учтя , что

7С

b>

 

 

г~'

 

 

г-1

 

 

 

Ц

 

 

 

і ф &

й - р ъ

d (-_

Bzi

\ _ іГ±L(ÈU l

)

(22)

d t \ i

d y

} ^ dt ('

 

Г '

 

 

У

Л '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приведем выражение (22) к одним параметрам, а для

этого

сделаем

следующее:

 

 

 

 

 

 

 

_

dz.

dz,

. дт:

q

 

dz:

 

x~i

dz:

dz:

, \

1/.*

dt

ду

3q2

 

—г*-=У

~ - Q - + — L •(*'*)

гr22'

‘ dt

LЬ

доду- Ъ.

' Bfdt

K

y

 

легко

 

H i

из

H i

-

 

 

 

 

 

-

получить

( * * )

 

 

 

( d a )

 

 

 

 

<d ' d z j \ = _ d _

d z

 

dv-j

 

 

 

 

d t \ d y )

 

d y [

/d t Л =

д ц

 

Подставим

( д )

и ( d Л )

 

/ ~

(22)

 

 

 

в выражение

 

 

 

t

*

п

т

 

- кинетичес­

Так как известно, что

^і=і

— 4 —*- = Т

кая энергия

системы, то

1

к

dl

дТ дТ

d

д

 

 

 

 

 

 

 

(гз)

Подставим вырахения (21) и (23) в общее уравнение динамики (20) и получим

 

 

 

 

( d _

д Т

Э Т \

=о.

 

 

 

 

ГР1

у

 

 

 

 

 

 

H i

H i }

7

ну­

л я ,

Так как возможные перемещения всегда отличны от

то

последнее равенство будет выполняться тогда,ког­

да

все

скобки порознь_ Лравны

0 , т .е. .

, „ э

 

 

d

Э Т

д Т

 

1

 

 

•

 

d t

д у

д у

Qi

 

m

Выражение (24) есть уравнения Лагранжа. Уравнения Лагранжа представляют собой систему К

обыкновенных дифференциальных уравнений второго поряд­

212

к а . Число

уравнений равно

числу

степеней

свободы.

Если

система консервативна,

то д

 

<?/7

поэтому

урав

где/7=//(^(,^ г, . . . ^ к) t

значит

Щ - ^О > а

нение

(2*0

можно

преобразовать

так:

 

 

 

 

 

 

 

d

дт

дТ

+

дП

 

 

 

 

 

 

 

dt

да

д у

Ң

 

 

 

 

ИЛИ

 

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

d

д(Т-П)

Э(Т-П) У

 

 

 

 

 

 

 

d t

H

ii

 

H i

= о

 

 

потен

 

т-п = х

 

- функция Лагранжа

или кинетический

 

 

 

 

циал.

_

 

 

 

 

(25)

 

 

 

 

- A

 

dSL

 

 

- О

 

 

 

 

 

dt

 

b y

H

i

 

уравнения ЛагрИйма і ферме Лагранжа.

 

 

 

 

Для составления уравнений в виде (25) надо и кине-

тическуи,

и нотекциальную

энергии выражать в обобщен­

ных координатах. При составлении уравнений Лагранжа

следует придерживаться

определенного порядка, а именно^

 

1 . Определить число степеней свободы системы и вы­

брать

обобщенные

координаты.

энергию.

 

 

 

 

2 .

Составить

кинетическую

 

3Âj

 

 

3 .

Определить

обобщенные

силы или по ^.-

Ч г :

m

9Ьf.

T

^

(для

консервативных систем ).

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнить все действия, указанные в уравнениях

(2*») или (2 5 ).

можно менять местами,

 

-Сѵѵ-ЧѴг

 

Пункты 2 и 3

 

218

Смотрите также файлы