Файл: Качуринер Д.М. Теоретическая механика (краткий курс лекций) учеб. пособие.pdf

Представим

s in (co t+ $ )= sin \({o t+ e)+ ( t - e ) J -

“ sin (cot* £)cos (£-£)+cos (cot +£)$in($~6) j

sin (^ -£ )-sin ^ - - I i

2£oo-H0 } £ — 2 (jq >

sin(u>t+£)—sin \tâ t+ fr-^ \~ c o s (ü )t+ $ ) ;

Rs (28) видно, что амплитуда вынуадеиных колебаний

1 9 5

ярк резонансе увеличивается и может достигнуть каких угодно больших значений (рис. 122). Резонанс, случайно возникший, может привести к нежелательным последствиям, так как амплитуды вынужденных колебаний могут »казаться очень большими, к это приведет к разрушению.

Глава У І . НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Вопросы, рассматриваемые в аналитической механике, связаны общими принципами (дифференциальными или интег­ ральными), а из этих принципов аналитическим путем по­ лучаются общие дифференциальные уравнения движения. Ин­ женеры, работающие в различных областях современной техники, должны владеть общими методами, которые дают аппарат для исследования сложных задач.

Начало развития аналитической механики принадлежит Лагранжу, в 1787 г . вышел его труд по аналитической ме­ ханике. В аналитической механике рассматриваются несво­ бодные системы, т .е . те системы, которые играют важную роль в инженерных вопросах.

$ I . Свободные и несвободные системы. Связи и их классификация

Системы материальных точек бывают свободные и не­

свободные.

Свободными материальными системами называются та­ кие, движение которых зависит только от сил, приложен­ ных к ним, и от начальных условий.

196

Если же на положения или скорости точек системы наложены ограничения геометрического или кинематичес­ кого характера, то система называется несвободной. Ог­ раничения, наложенные на систему, называются связями. Аналитически связи выражаются уравнениями, а кеЛ трук - тивно могут быть представлены в виде рельсов, нщтей стержней, направляющих и т .д . Связи могут быть разделе­ ны на определенные классы или виды.

Рассмотрим несколько примерив, с пемецью кетарых можно будет классифицировать связи.

Пусть имеем маятник, который может врываться ввкруг точки 0 в пространстве, т .е . маятник будет сферичес­ ким (рис. 123).

I ) ОМ = - жесткий стержень. Тогда уравнение

будет уравнением связи. Это же уравнение можно,,<ыле, йы записать иначе, воспользовавшись условием, так как ѵ- - скорость всегда перпендикулярна к стерж-

197

ны только на координаты. Время в это уравнение в явном

Уравнение связи (2) выражено неравенством. Но огра­ ничения остались наложенными на координаты, а время опять не входит в явном виде.

Ограничения наложены на координаты, уравнение свя­ зи выражено неравенством и в него в явном виде воіло время.

xtycot - у ~ О .

198

199

зи - это такие, которые накладывают ограничения на ко­ ординаты. Если же в уравнения голономных связей входят скорости, то от них можно избавиться путем интегрирова­ ния.

Если же в уравнения связи входит скорость и урав­ нения нельзя проинтегрировать, то связи называются неголоноыными.

2 . Если уравнения связей не содержат времени в яв­ ном виде, то такие связи называются стационарными. Если же время входит в уравнения, то связи называются неста­ ционарными.

3 . Уравнения связей могут быть выражены равенства­ ми, тогда эти связи называются удерживающими. Если же уравнения связей представляют собой неравенства, то свя­ зи называются неудерживающими.

Одна и та же связь может быть голономной, стацио­ нарной и удерживающей или голономной, нестационарной и удерживающей и т .д .

§ 2 . Обобщенные координаты. Число степеней свободы. Действительные и возможные перемещения

В аналитической механике пользуются обобщенными координатами. Это позволяет сократить число уравнений и наиболее полно характеризовать движение.

Обобщенными координатами называются независимые па­ раметры, однозначно определяющие положение системы в

обобщенных координат. Изменяется число степеней свобо­ ды только с изменением числа голономных связей.

200