Файл: Качуринер Д.М. Теоретическая механика (краткий курс лекций) учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.07.2024
Просмотров: 101
Скачиваний: 1
ся . Идеальными связи называются тогда, когда выпол няется следующее условие:
П
( ю )
т .е . сумма элементарных работ реакцій на любом возмож ном перемещении системы равна нулю. Уравнение (ІО ) мож но записать и так:
Е Ntx +Ni y h i +Ni J ii =0 • ( Ю'о
Любой сложный механизм можно трактовать как систе му материалы »! точек, подчиненную идеальным связям,
считая при |
этом силу трения активной силой. |
|
С введением понятия обобщенных координат иряхрдкт- |
||
ся вмдить |
новое иаиятие о силах - о обобщенных силах. |
|
g- Пусть |
на систему наложены голонѳмные связи. , |
|
- равнодействующая активных сил, иримжехных к |
||
некоторой |
г |
точке. |
Напишем |
элементарную работу силы |
|
где о гг- - |
возможное перемещение радиус-вектора. |
|
||||
Злементарная |
работа |
всех |
активных сил, |
приложенных |
||
к системе, |
будет |
иметь |
такой |
вид: |
. |
. |
пП
203
Выразим вариацию |
через обобщенные координаты |
|
7г'~гг |
‘ " £ * 7 ^ ’ |
|
Подставим это выражение в ( I I )
Щ |
V |
Н г 1 * ч Ц % |
1 |
|
г ' |
г 1 1= |
ч |
это произ |
|
так как это выражение |
для работы, а работа - |
|||
ведение силы на перемещение, то |
|
( 12) |
||
д?і |
|
|
|
|
- У- |
|
г * > * - |
|
|
ZW |
|
|
|
|
Выражение (12) - обобщенная сила. Тогда
( 13)
s* ' W y
г -1
Число обобщенных сил равно числу степеней свободы. Выражение (13) можно записать в развернутом виде:
SA^Q'Sy* Q2S y 2-t-Q3â<£3+ -•-+ |
* |
^I3/ ) |
Исходя из выражения (1 3 ), можно обобщенную силу оп ределить, как коэффициент, стоящий перед возможным пе ремещением в выражении работы. Из выражения (13) обоб щенную силу можно определить, как частное от деления
204
парциальной работы на возможное перемещение одной из координат. Парциальной работой называется работа сил, действующих на систему, на одном каком-либо возможном перемещении.
Обобщенная сила будет иметь размерность или силы,
или момента, т .е . размерность |
обобщенной |
силы |
связана |
||||||
с размерностью обобщенных координат. |
|
|
|
||||||
Обобщенные силы, в случае консервативной системы, |
|||||||||
могут |
быть представлены так: |
|
|
3z, |
|
||||
|
|
|
|
дх; |
_ |
_ |
|
||
|
|
У |
|
д, |
|
|
|
|
|
|
Ь“І |
г=/ |
У |
|
|
|
|
||
так как для |
консервативных сил |
|
|
|
|
||||
|
дП |
_ |
ЭЛ |
|
_ |
д П |
|
||
* * * ~ Э*і ’ |
V |
t y |
1 |
|
|
’ |
|
||
т» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q - |
V1 / |
дП |
дхі |
дП |
дуі |
^ ЭП |
д?{ |
\ |
дП |
і |
|
|
|
f y |
Зц |
f Зв; |
|
|
|
|
|
|
О - |
i f |
L . |
|
|
< в ) |
|
|
|
|
|
аУ |
|
|
|
||
|
" 4 . Принцип возможных перемещений |
|
|||||||
Имея понятие об обобщенных координатах, возможных |
|||||||||
перемещениях, рассматривая |
с в я з ;, как |
идеальные, т .е . |
|||||||
имея дело только с активными силами, можно рассмотреть еще условия равновесия системы.
Все возможные положения равновесия системы позволя
205
ет определять принцип вознойных перемещений. Принцип возможных перемещений устанавливает необходимые и до статочны условия равновесия систем.
Формулировка. Для того чтобы система с идеальными связями под действием активных сил находилась 6м в рав новесии, необходимо и достаточно, чтобы элементарная работа активных сил, действующих на систещу, равнялась нулю на ее любом вознохном перемещении из рассматривае мого положения равновесия, т .е .
|
|
І-І |
І-! |
|
|
|
|
Доказательство. На каждую точку системы действуют |
|||||
активные силы |
и реакции связи /Ѵ?- _ . |
Для равнове |
||||
сия |
системы должно |
выполняться условие |
tF' + N ^O |
для |
||
любой точки. |
и правую части равенства |
скалярно на |
||||
с-ß |
Умножим левую |
|||||
f |
. |
и просуммируем по всем точкам системы. Получим |
||||
UM |
|
|
І = / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Но |
І=І |
i=t |
|
|
|
|
так как связи идеальные, то |
|
|
|
||
І - І
206
следовательно,
f y i h - O . |
Ü 5 ) |
i=l
Выражение (15) - эта условие необходимое. Но нохно доказать его достаточность. Пусть, напршер, выполняет ся условие (15), но сжетсѵа на находится в равновесии,
т .е .
П
Е ( ? ; + ц ) Ц > о ,
так как система |
должна иметь |
скорость. |
с/?г- , |
но для |
|
В последнем |
выражении должно |
стоять |
|||
стационарных связей |
. |
Связи |
остались |
иде |
|
альными, выполняется |
|
|
|
|
|
f^N .S z ^ O ,
Iя f
тогда
іч
аэто противоречит условии (1 5 ).
Значит уеловие (15) и необходимое, и достаточное.
Представим нрмяцин возможных перемещений в обобщен ных координатах. Известно, что
Г '
207
С л е д о в а т е л ь н о , no ( 1 5 )
Z Q jh r 0 |
( 16) |
илI
Qfi%+Qi h i +' " +(* * h ~ 0 ' |
( и о |
Это равенство может выполняться при произвольных перемещениях, только если
Qz= o 7 • • • 1 |
о . |
( i t ) |
Обобщенные силы в положении равно есия равны нулю. Для консервативной системы будем иметь
д П
qr % ■■о • / к . (18)
А это соответствует экстремумам потенциальной энергии.
г- 5 . Общее уравнение динамики
Общее ура*не ищи динамики получено из сочетания двух принципо»: метода кинетостатики и принципа возмож ных перемещений. Чтобы вывести общее уравнение динами ки, наитием уравнение Ньютона для едной из точек систе мы:
mi Wr ^i ^Ni ,
2 0 8
