Файл: Каплун Я.Б. Прикладная геометрия для химического машиностроения [Текст] 1974. - 152 с.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.07.2024
Просмотров: 99
Скачиваний: 2
профильных прямых, то необходимо, чтобы пересекались их профильные проекции, так как горизонтальные, а также фрон тальные проекции у них будут сливаться.
Пересекающиеся прямые так же, как и параллельные, одно значно задают плоскость в пространстве.
Скрещивающиеся прямые
Прямые скрещиваются, если на комплексном чертеже у них нельзя найти общей точки. Таким прямые, помимо приведенных
Рис. 15. Скрещивающиеся |
Рис. 16. Конкурирующие точки |
прямые |
|
на рис. 13, а, показаны на рис. 15. Пересечение одноименных проекций скрещивающихся прямых вовсе не означает пересече ния прямых в пространстве, так как точки пересечения проек ций не лежат на одной проекционной связи. В точках пересече ния проекций сливаются проекции точек, принадлежащих раз ным прямым. Так, точки 1 и 2, слившиеся на горизонтальной проекции, принадлежат соответственно прямым а и Ь, что вид но на фронтальной проекции. На горизонтальной проекции вид но, что точки 3 и 4 принадлежат соответственно прямым а и Ь, хотя их фронтальные проекции слились. Точки, у которых сли ваются какие-либо одноименные проекции, имеют особое зна чение (см. ниже).
Метод конкурирующих точек
Точки, у которых сливаются какие-либо одноименные проек ции, находятся, очевидно, на одной линии проецирования (рис. 16, а). Такие точки «конкурируют» перед наблюдателем, у ко торого направление взгляда совпадает с линией проецирова ния. Одна из точек, находящаяся ближе к наблюдателю, как бы закрывает собой другую. Так, из конкурирующих точек Л и В к наблюдателю, смотрящему сверху (по стрелке /), ближе точка
-13
А ; ома закрывает собой точку В. К наблюдателю, смотрящему по направлению стрелки II на конкурирующие точки С и Д ближе оказывается точка D , следовательно она закрывает со бой точку С.
Метод конкурирующих точек состоит в нахождении на комп лексном чертеже видимой точки из двух «конкурирующих» (т. е. слившихся на данной проекции). Направление взгляда наблю дателя на слившиеся проекции па этом чертеже можно указать стрелкой, поставленной у неслившихся проекций (рис. 16, б). Точка, оказавшаяся первой по ходу стрелки, будет ближе к наб
людателю и закроет перед ним другую точку |
(см. рис. 16, |
а и |
|
б). |
Обозначение точек, оказавшихся невидимыми, указаны |
в |
|
скобках. |
ч |
ви |
|
|
Практическое применение этого метода для |
определения |
димости можно проиллюстрировать на примере скрещивающих ся прямых (см. рис. 15). Точка I, принадлежащая прямой а, ближе к наблюдателю, смотрящему на горизонтальную проек
цию (по стрелке |
/). |
На |
горизонтальной проекции точка / закры |
||||||||||
вает собой точку |
2, |
принадлежащую |
прямой |
Ь, |
следовательно, |
||||||||
в |
этой точке проекция |
Ь\ |
невидима |
(на |
чертеже показана |
с |
|||||||
разрывом). |
|
|
|
|
|
|
3 |
4. |
|
|
|
|
|
|
Для определения видимости на фронтальной проекции вос |
||||||||||||
пользуемся конкурирующими точками |
и |
|
Направление взгля |
||||||||||
да наблюдателя на фронтальную проекцию указано стрелкой |
II. |
||||||||||||
Ближе к нему оказывается точка |
4, |
принадлежащая прямой |
Ь. |
||||||||||
На |
фронтальной |
проекции точка |
32 |
оказывается |
закрытой |
от |
|||||||
наблюдателя точкой |
42 |
и, |
следовательно, в этом месте проекция |
||||||||||
о2 |
невидима (показана с разрывом). |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
4.
П Л О С К О С Т Ь
При графическом изображении любой участок плоскости мо жет быть задан только с помощью точек или линий, лежащих
Рис. 17. Способы задания плоскости:
а — тремя точками; б — пересекающимися прямыми; о — плос кой фигурой; г — параллельными прямыми
14
в этой плоскости. Если на комплексном чертеже задать проекции трех точек, то тем самым будет задана плоскость. С помощью этих же точек можно получить примеры задания плоскости пе ресекающимися прямыми, плоской фигурой и т. п. (рис. 17, а, б, в). Плоскость может быть задана и двумя параллельными прямыми (рис. 17, г).
Точка и прямая в плоскости
Известно, что точка принадлежит плоскости, если она нахо дится на какой-либо прямой, лежащей в данной плоскости. Пря мая же лежит в плоскости, если она пересекается с прямыми,
задающими эту плоскость, или пересе |
|
||||||||||||||||
кается с одной из них |
и |
параллельна |
|
||||||||||||||
другой. Признаки совпадения точки с |
|
||||||||||||||||
прямой, пересечения и параллельности |
|
||||||||||||||||
прямых |
|
на |
комплексномА Ачертеже |
уже |
|
||||||||||||
рассмотрены. |
КВ |
|
соответствии |
|
с этими |
|
|||||||||||
признаками в плоскости |
|
В С |
|
(рис. |
18) |
|
|||||||||||
лежат |
точки |
|
и |
Р |
и |
прямые |
|
|
т |
и |
п. |
|
|||||
Прямая |
пг |
наложена |
на |
А А В С , |
как «пе |
|
|||||||||||
рекладина»; |
|
прямая |
п, |
проходящая |
|
че |
|
||||||||||
рез вершину |
В, |
параллельна |
|
|
|
стороне |
|
||||||||||
А С . |
Следует заметить, что точка может |
|
|||||||||||||||
принадлежать плоскости, находясь за |
|
||||||||||||||||
пределами |
изображенного |
участка |
этой |
Рис. 18. Точка и прямая |
|||||||||||||
плоскости, как, например, точка |
Р. |
|
|
в плоскости |
|||||||||||||
|
Указание |
точек и |
прямых, |
лежащих |
|
||||||||||||
в плоскостях частного положения, упро |
|
||||||||||||||||
щается, как будет показано ниже. |
случаи задания плоскости |
||||||||||||||||
|
Практически |
наиболее |
интересны |
плоской фигурой, т. е. изображения плоских участков, входя щих в более сложные объекты. Если такие участки очерчены многоточечным контуром, ломаным или криволинейным, то мо жет понадобиться специальная проверка для определения, дей ствительно ли данный контур — плоский.
|
Проверка неплоскостности |
|
|
|
||||
На рис. 19, |
а |
показан |
контур |
A B C D . |
Так как в него входят |
|||
скрещивающиеся прямые |
A B и CD |
( Л ^ іЦ С ^ і, но |
A 2B2x C 2D |
2), |
||||
|
|
|
то данный контур не может быть плоским. Если неплоскостность сразу не обнаруживается (рис. 19, б), то в исследуемом конту ре можно провести несколько непараллельных прямых, задав их сначала на одной из проекций контура. В случае плоского контура эти прямые действительно будут пересекающимися, в
15
случае иеплоского |
— окажутся |
скрещивающимися, |
что обнару |
||||||||||||||
жится при построении вторых проекций. Так, в контурах |
A B C D |
||||||||||||||||
и |
E F G H |
(рис. |
19, |
а, б) |
можно |
провести |
диагонали |
А С |
и |
BD , |
|||||||
E G |
и |
F H . |
Они |
скрещиваются; |
следовательно, данные контуры |
||||||||||||
неплоские. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Плоскостность можно проверить и свпомощью параллельных |
||||||||||||||||
прямых, лежащих |
в |
одной плоскости. |
На |
фронтальной |
проек |
||||||||||||
ции |
криволинейного |
контура (рис. 19, |
) |
проведем |
|
произволь |
|||||||||||
ную прямую |
M 2N o |
и |
ряд параллельных прямых, пересекающих |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
ся с ней в точках |
1% |
22, 32 |
и с данным |
контуром |
в точках |
А 2, |
|||||||||||
B q, |
С 2, D 2, |
Е 2, F 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 19. Проверка неплоскостности:
а — контур неплоскнй. так как заметны скрещивающиеся прямые |
в его кон |
|||
туре; |
6 |
— контур неплоскнй, |
так как проведенные диагонали скрещиваются; |
|
в |
|
|
криволинейного контура с помощью |
параллель |
— проверка неплоскостности |
ных прямых
Если исследуемый контур плоский, то мы получим фронталь ные проекции ряда параллельных прямых, лежащих в одной плоскости и пересекающихся с прямой M N . Построив горизон тальные проекции всех отмеченных точек, проведем прямые че рез точки 1\, 2и Зі и А !, В I, С]. Если эти прямые при их продол жении пройдут через точки D ь Е и F x и при этом будут парал лельными, то это означает, что все показанные прямые в пространстве лежат в одной плоскости. Отклонение какой-либо прямой от параллельности показало бы в данном случае, что ис
следуемый |
контур в одной |
из точек |
А , |
В |
или |
С) |
отклоняется |
|||
( |
|
|
||||||||
от плоскости. В рассматриваемом случае (рис. |
19, |
в) |
эти пря |
|||||||
мые параллельны, но на продолжение прямой |
Сі<?і не попала |
|||||||||
точка |
D i. |
Следовательно, |
на участке |
точки |
D |
в |
пространстве |
|||
|
|
контур отклонился от плоскости, в которой лежат остальные его участки. Для исправления, неплоскостности необходимо, чтобы точка D заняла другое положение, например соответствующее горизонтальной проекции D \.
16
Плоскости частного положения
Плоскость, как и прямая линия, находится в частном по ложении, если она перпендикулярна к одной из плоскостей про екций. Такие плоскости выше названы проецирующими, потому что они могут быть представлены как множество перпендикуля ров (линий проецирования), проведенных к одной из плоскостей
Рис. 20. Проецирующая |
Рис. 21. |
Фигуры в проецирующих плоскостях: |
||||
ПЛОСКОСТЬ |
а |
— фронталыю-проецнрующей; |
б |
— горнзонтально-прое- |
||
|
цнрующеП; |
в |
— профплыю-проецирующей |
|||
|
|
проекций через какую-либо прямую. Пересечение такой плоско сти с плоскостью проекций дает прямую, которая является про екцией любой прямой в этой плоскости, и, что особенно важно, ее отрезки есть проекции любых фигур, лежащих в этой плос кости (рис. 20). Иными словами, проекции любых элементов, лежащих в плоскости, сольются в одну прямую с проекцией са мой плоскости, если плоскость перпендикулярна к данной плос кости проекций. Соответственно различают фронталы-ю-проеци- рующие (рис. 21, а), горизонталы-ю-проецирующие (рис. 21, б) и профильно-проецирующие плоскости (рис. 21, в).
На рис. 21 проекции таких плоскостей отмечены соответст венно буквами 02, Si и Ф3, причем для профилы-ю-проецирую- щей плоскости использована система из фронтальной и про фильной плоскостей проекций. Там же показаны различные эле менты —• точка, прямая, плоская фигура, лежащие в этих плоскостях.
Рассматривая эти чертежи, можно сделать вывод, что прое цирующие плоскости или фигуры наиболее просто задаются на комплексном чертеже, упрощают изображение, в которое они входят, и облегчают построение и анализ изображения. Приме нение проецирующих плоскостей для построения и анализа раз личных изображений будет показано ниже, так как эти плоско сти служат почти универсальным «инструментом» в таких воп росах.
К плоскостям частного положения относятся также плоскос ти, параллельные одной из плоскостей проекций (рис. 22). По-
2— 1399 |
научно- |
іЧИміі л |
17 |
|
|
||
j |
Гос. |
техническая |
|
|
|
добно прямым линиям уровня (горизонталь, фронталъ и про фильная прямая) такие плоскости называют соответственно плоскостями горизонтального, фронтального и профильного уровня (рис. 23). Каждая из этих плоскостей, будучи парал лельной одной из плоскостей проекций, перпендикулярна к двум
Рис. 22. Плоскость |
Рис. 23. Фигуры в плоскостях уровня: |
уровня |
а — горизонтальной; б — фронтальной; в — профильной |
|
другим плоскостям, и поэтому обладает всеми особенностями проецирующей плоскости. Но, кроме того, нужно учитывать, что
любая прямая, лежащая в плоскости уровня, сама является од ноименной прямой уровня и ее отрезки проецируются на соот ветствующую плоскость проекций в натуральную величину. Нап ример, прямая /г, лежащая в плоскости горизонтального уровня 0 (см. рис. 22 и 23, а), является горизонталью, и проекция А ХВ Х соответствует натуральной величине отрезка A B ; прямая f, ле жащая в плоскости фронтального уровня 2 — фронталь. Сле довательно, любая фигура, лежащая в плоскости уровня, про ецируется на соответствующую плоскость проекций без искаже
ний |
(в натуральную величину). |
Например, |
проекции |
А ХВ ХС Х |
и |
||||
E 2F |
|
а |
|
|
|||||
2G2K 2 |
— натуральные величины соответствующих контуров, |
||||||||
а угол |
|
— натуральная величина угла |
E K G . |
Дальше будет по |
|||||
|
|
|
казано, как, исходя из этого, для получения натуральных вели чин фигур, углов и других элементов приводят их в плоскость уровня.
Все точки плоскости уровня находятся на одинаковых рас стояниях от одноименной плоскости проекций — это вытекает из самого определения.
5.
В ЗА И М Н О Е П О Л О Ж Е Н И Е П Л О С К О С Т Е Й
Общий принцип построения линии пересечения плоскостей
Поскольку плоскости пересекаются по прямой линии, то за дача сводится к отысканию не более чем двух точек, лежащих на
18