Файл: Каплун Я.Б. Прикладная геометрия для химического машиностроения [Текст] 1974. - 152 с.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.07.2024
Просмотров: 104
Скачиваний: 2
Известно также, что прямая линия параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в данной плоскости. Следовательно, нужно воспользоваться признаком па раллельности двух прямых, рассмотренным выше.
Особый интерес представляет пересечение прямой с плос костью, поскольку эта задача может быть не только самостоя тельной, но и входящей в более сложные построения.
Пересечение прямой с плоскостью
Рассмотрим порядок отыскания точки пересечения (встречи)
прямой с плоскостью (рис. 31, а). Через данную прямую прово дим вспомогательную плоскость Ф. Далее определяем линию п пересечения данной плоскости 2 и вспомогательной Ф. На пе ресечении данной прямой m и полученной прямой п находим искомую точку К.
Рис. 31. Принцип определения точки пересечения пря мой с плоскостью
На рис. 31, б показан комплексный чертеж той же задачи. В качестве вспомогательной взята горизонтально-проецирующая плоскость, но можно взять и фронтально-проецирующую пло скость. В обоих случаях, поскольку плоскость проецирующая, уп рощается ее проведение через прямую и построение линии ее пересечения с данной плоскостью.
Если прямая пересекается с проецирующей плоскостью, то точка их встречи имеется на исходном чертеже, на той плоско
сти проекций, |
на которую данная плоскость проецируется в пря |
|||||||||
мую линию. Так (см. рис. |
24), |
точки |
Е |
и |
F, |
через которые про |
||||
ходит линияAпересечения пластинок, по существу являются точ |
||||||||||
ками встречи |
прямых |
K L |
и |
M N |
с |
фронтально-проецирующей |
||||
плоскостью |
B C D . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
Проверка взаимного положения прямой и плоскости
Для проверки взаимного положения прямой и плоскости можно выполнить такие же построения (рис. 32), как для оп ределения точки их встречи. Так, через прямую A B проведена фронталыю-проецирующая плоскость S , которая пересекается с
Кг
Кі
Рис. 32. Проверка взаимного положения прямой и плоскости:
а
б |
— |
|
— параллельность прямой и плоскости общего положения; |
||
|
|
параллельность прямой и проецирующей плоскости |
плоскостью K LM N по прямой 1-2. Прямые A B и 1-2 параллель ны, так как их горизонтальные проекции параллельны (слияние их фронтальных проекций — частный случай параллельности).
Следовательно, |
прямая |
A B |
параллельна плоскости |
K LM N . |
Ес |
||||||||||||
ли бы прямые |
A B |
и |
1-2 |
пересекались, |
|
то одновременно можно |
|||||||||||
выяснить, лежит ли |
точка встречи |
прямой |
A B |
с |
плоскостью |
||||||||||||
K L M N |
в пределах данной фигуры или за ее пределами, |
т. е. |
|||||||||||||||
на продолжении плоскости, заданной данной фигурой. |
если |
||||||||||||||||
Проверка взаимного |
|
положения |
также |
упрощается, |
|||||||||||||
плоскость проецирующая. |
Прямые |
A B |
и |
CD |
параллельны фрон- |
||||||||||||
тально-проецирующей плоскости |
K L M N |
|
(рис. |
32, |
б). |
Чтобы про |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
верить это, достаточно убедиться в параллельности фронталь ных проекций этих прямых линейной фронтальной проекции дан ной плоскости. При этом следует учитывать, что указанная параллельность означает параллельность фронтальных проек ций данной прямой и некоторой прямой, лежащей в данной проецирующей плоскости. А к горизонтальной проекции дан ной прямой всегда можно подобрать параллельную проекцию прямой, лежащей в данной плоскости.
24
7.
П Е Р П Е Н Д И К У Л Я Р Н О С Т Ь НА К О М П Л Е К С Н О М Ч Е Р Т Е Ж Е
При создании и особенно анализе графических изображении перпендикулярность различных элементов используют особен но часто. Перпендикулярность рассматриваемой плоскости к плоскости проекций упрощает изображение, облегчает многие построения. По прямой, перпендикулярной другой прямой или плоскости, измеряют расстояния, а также используют прямой угол в других метрических задачах.
Отсюда ясно,, как важно определять или создавать прямые углы на комплексном чертеже.
Перпендикулярность двух прямых (проекции прямого угла)
Если проецирующие плоскости 0 и Ф (рис. 33) взаимно пер пендикулярны, то в пересечении с плоскостью проекций ГЕ они дадут прямые т' и п', образующие прямой угол с вершиной в точке О'. Очевидно, полученный на плоскости ГЕ прямой угол —• это проекция любого плоского угла, вписанного в двугранный прямой угол,-который образован плоскостями Ѳ и Ф. Например, произвольный (острый или тупой) угол а спроецируется в пря мой угол, если его стороны лежат в плоскостях Ѳ и Ф.
Прямой угол между прямыми т и п, параллельными плос кости П ', также спроецируется в прямой, т. е. в натуральную величину; это характерно для любого угла, обе стороны которо
го параллельны плоскости |
проекций. |
|
п |
|
|
||
Но прямой угол между прямыми |
т |
и |
останется вписанным |
||||
|
п. |
||||||
в двугранный |
прямой угол, |
если поворачивать его вокруг од |
|||||
ной из сторон, |
например вокруг прямой |
|
При этом прямая |
іи |
|||
|
|
отклоняется от параллельности плоскости ГЕ, оставаясь |
в плос |
|||||||||
кости, |
перпендикулярной прямой |
п, |
т. е. в плоскости Ѳ; |
и проек |
||||||
цией |
прямой |
т |
по-прежнему будет прямая |
т'. |
Следовательно, |
|||||
в любом |
положении при таком |
вращении |
прямой угол между |
|||||||
прямыми |
т |
и |
п |
проецируется в натуральную величину на плос |
||||||
кость П ', |
которой одна из его сторон остается параллельной. |
Из сказанного можно сделать важный практический вывод;
проекции перпендикулярных прямых образуют прямой угол, ес ли хотя бы одна из этих прямых параллельна данной плоскос ти проекций, т. е. является линией уровня.
Иными словами, если для проецирования любого плоского уг ла на одну из плоскостей проекций в натуральную величину не обходимо, чтобы обе его стороны были параллельны этой плос кости проекции, то прямой угол проецируется в натуральную величину, если одна из его сторон параллельна указанной плос кости проекций.
25
Примеры проецирования прямого угла в натуральную вели чину приведены на рис. 34, а, б, в. На рис. 34, а показаны про екции угла, который хотя и проецируется на обе плоскости про екций в виде прямого угла, в действительности не является пря мым, так как образован прямыми общего положения.
Рис. 33. Проецирование прямого |
Рис. 35. Угол между скре |
угла |
щивающимися прямыми: |
|
а — произвольный; б — прямой |
|
(одна из прямых — горизонталь) |
Рис. |
34. |
Проекции прямых, пересекающихся под прямым углом |
(а, б, |
в) |
и под некоторым непрямым .углом (г, д) |
Для анализа графического изображения полезен обратный вывод: прямой угол на изображении (в проекции) соответствует прямому углу в пространстве, если одна из сторон последнего является линией уровня по отношению к плоскости проекций, на которой изображен прямой угол.
Можно ошибиться, считая прямым угол, показанный на рис. 34, д. Этот угол спроецировался в виде прямого на фронталь ную плоскость, но одна из его сторон — горизонталь — явля ется линией уровня не к той плоскости, на которую угол спрое цировался в прямой.
Перпендикулярными могут быть не только пересекающиеся,
26
но и скрещивающиеся прямые. Как известно, угол между скре щивающимися прямыми т и п (рис. 35, а) измеряется углом между одной из скрещивающихся прямых п и пересекающейся с ней прямой т*, проведенной параллельно прямой т — другой из скрещивающихся прямых. Следовательно, условие проециро вания перпендикулярных скрещивающихся прямых остается таким же, как и для пересекающихся прямых: проекции перпен дикулярных скрещивающихся прямых образуют прямой угол, ес ли одна из этих прямых параллельна рассматриваемой плоско сти проекций.
На рис. 35, б показаны перпендикулярные скрещивающиеся прямые. Прямой угол между ними имеет натуральную величину на горизонтальной проекции, так как одна из скрещивающихся прямых — горизонталь /г.
Перпендикулярность прямой и плоскости
Прямая а (рис. 36, а) перпендикулярна плоскости 2, если она перпендикулярна каким-либо двум пересекающимся прямым Іг и f, лежащим в данной плоскости и проведенным через точку встречи К данной прямой с данной плоскостью. Если в качестве вспомогательных прямых взять горизонталь и фронталь в дан-
Рис. 36. Перпендику лярность прямой и плоскости
ной плоскости, то они служат «ориентирами» для проведения перпендикуляра к плоскости на комплексном чертеже (рис. 36, б) - В соответствии с условием проецирования прямого угла, рас смотренным выше, прямой угол с горизонталью будет виден на горизонтальной проекции, с фронталью — на фронтальной про екции. Поэтому каждая проекция перпендикуляра к плоскости перпендикулярна к одноименной проекции прямой одноименного уровня, лежащей в данной плоскости.
27
При этом вовсе не обязательно проводить вспомогательные линии уровня через основание перпендикуляра (оно может быть неизвестным). Поскольку все линии одноименного уровня парал
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лельны между |
со |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бой, |
|
то |
любая |
из |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
них |
|
может |
служить |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ориентиром |
для |
со |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ответствующей |
|
про |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
екции |
|
перпендику |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ляра, |
|
составляя с |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ним пару |
скрещива |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ющихся |
перпенди |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кулярных |
прямых. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аНапример, |
|
если |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из |
|
|
точки |
|
О |
|
(рис. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37, |
|
) |
|
нужно |
|
|
опу |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стить |
|
перпендику |
||||||||
кости; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ляр |
|
|
|
на |
плоскость |
|||||||
Рис. 37. Построение перпендикуляр;! к плос |
|
A B C D , |
то |
горизон |
|||||||||||||||||||
а |
— из |
точки |
|
вне |
плоскости; |
ѵ - |
из |
точки |
нл |
|
таль |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
и |
|
фронталь |
|||||||||||||||
плоскости |
|
|
|
|
|
|
|
|
можно |
|
наложить, |
||||||||||||
|
|
С, |
|
|
|
в любом |
месте. |
Так, |
|
|
как |
|
|
«перекладины» |
|||||||||
на эту |
фигуру |
фронталь |
|
проведена |
|
через |
|||||||||||||||||
точку |
|
|
а |
|
перпендикулярно1 |
к проекции |
f2 |
проведена |
|
фрон |
|||||||||||||
тальная |
|
проекция перпендикуляра |
пи. |
Для ориентации |
|
гори |
|||||||||||||||||
зонтальной |
проекции /тг |
послужила |
одноименная |
|
проекция |
сто |
|||||||||||||||||
роны |
A D , |
являющейся горизонталью. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A B C D |
||||||||||
Еще |
проще восстановить перпендикуляр |
к плоскости |
|||||||||||||||||||||
(рис. 37, |
б). |
Ориентирами для его проекций служат |
стороны |
||||||||||||||||||||
фигуры, |
сами являющиеся линиями уровня. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л И Н И Я СКАТА В П Л О СК О СТ И И ЕЕ Ф И ЗИ Ч Е С К О Е З Н А Ч Е Н И Е
К.ак известно, шарик, предоставленный свободному качению по наклонной плоскости, скатывается по кратчайшему расстоя нию к любому горизонтальному уровню, расположенному ни же. Иначе говоря, шарик скатывается вдоль прямой, располо женной в данной плоскости перпендикулярно к любой ее гори зонтали. Такую прямую, исходя из ее физического смысла, на зывают линией ската (рис. 38). В соответствии со свойством проецирования прямого угла в данном случае он виден в на туральную величину на горизонтальной проекцииПоэтому про водят сначала горизонтальную проекцию линии ската, а затем ее фронтальную проекцию, как для прямой, пересекающейся с данными прямыми.
Очевидно, что линия ската является и линией наибольшего наклона к горизонтальной плоскости. Линию ската можно пред-
28